Idento de Bézout

Pri kvanto de intersekcoj de du ebenaj algebraj kurboj vidu en teoremo de Bézout.

---

En nombroteorio, idento de Bézout, nomita pro Étienne Bézout, estas fakto pri linearaj diofantaj ekvacioj. Ĝi diras, ke se a kaj b estas entjeroj kun plej granda komuna divizoro d, tiam tie ekzistas entjeroj x kaj y tiaj ke

ax + by = d

Nombroj x kaj y de pli supre povas esti difinitaj per la etendita eŭklida algoritmo, sed ili estas ne unikaj.

Se estas unu solvaĵo (x, y) tiam la aliaj solvaĵoj estas

$\left\{\left(x+{\frac {kb}{d}},\ y-{\frac {ka}{d}}\right)\mid k\in \mathbb {Z} \right\}$

Ekzemple, la plej granda komuna divizoro de 12 kaj 42 estas 6, kaj do la ekvacio

12x + 42y = 6

havas iujn entjerajn solvaĵojn:

(-3)·12 + 1·42 = 6

kaj ankaŭ

4·12 + (-1)·42 = 6.

La plej granda komuna divizoro d de a kaj b estas fakte la plej malgranda pozitiva entjero kiu povas esti skribita en la formo ax + by.

Idento de Bézout laboras ne nur en la ringo de entjeroj, sed ankaŭ en ĉiu la alia ĉefideala domajno. Tio estas, se R estas ĉefideala domajno, kaj a kaj b estas eroj de R, kaj d estas plej granda komuna divizoro de a kaj b, tiam estas eroj x kaj y en R tiaj ke ax + by = d. La kaŭzo: la idealo Ra + Rb estas ĉefa kaj ja estas egala al Rd.

Eksteraj ligiloj

• Surlinia kalkulilo de Idento de Bézout.
• [1] Idento de Bezout por gaŭsaj entjeroj, lasta teoremo de Fermat.