Idento de Bézout

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Pri kvanto de intersekcoj de du ebenaj algebraj kurboj vidu en teoremo de Bézout.

En nombroteorio, idento de Bézout, nomita pro Étienne Bézout, estas fakto pri linearaj diofantaj ekvacioj. Ĝi statas, ke se a kaj b estas entjeroj kun plej granda komuna divizoro d, tiam tie ekzistas entjeroj x kaj y tiaj ke

ax + by = d

Nombroj x kaj y de pli supre povas esti difinitaj per la etendita eŭklida algoritmo, sed ili estas ne unikaj.

Se estas unu solvaĵo (x, y) tiam la aliaj solvaĵoj estas

 \left\{ \left(x+\frac{kb}{d},\ y-\frac{ka}{d}\right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

Ekzemple, la plej granda komuna divizoro de 12 kaj 42 estas 6, kaj do la ekvacio

12x + 42y = 6

havas iujn entjerajn solvaĵojn:

(-3)·12 + 1·42 = 6

kaj ankaŭ

4·12 + (-1)·42 = 6.

La plej granda komuna divizoro d de a kaj b estas fakte la plej malgranda pozitiva entjero kiu povas esti skribita en la formo ax + by.

Idento de Bézout laboras ne nur en la ringo de entjeroj, sed ankaŭ en ĉiu la alia ĉefideala domajno. Tio estas, se R estas ĉefideala domajno, kaj a kaj b estas eroj de R, kaj d estas plej granda komuna divizoro de a kaj b, tiam estas eroj x kaj y en R tiaj ke ax + by = d. La kaŭzo: la idealo Ra + Rb estas ĉefa kaj ja estas egala al Rd.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]