Integrala eksponenta funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Graikaĵoj de E1 (supra) kaj Ei (malsupra)

En matematiko, la integrala eksponenta funkcio Ei(x) estas difinita kiel difinta integralo de certa esprimo kun la eksponenta funkcio:

 \mbox{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt

Ĉar integralo de 1/t malkonverĝas je t=0, la pli supre donita integralo estas komprenata kiel la koŝia ĉefa valoro.

La integrala eksponenta funkcio havas la serian prezenton:

\mbox{Ei}(x) = \gamma+\ln x+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!} \,

kie γ estas la eŭlera γ konstanto.

La eksponenta funkcia integralo estas proksime rilatanta al la logaritma integrala funkcio li(x)

li(x) = Ei (ln (x)) por ĉiu pozitiva reela x≠1.

Ankaŭ proksime rilatanta estas funkcio kiu integralatas super malsama limigo:

{\rm E}_1(x) = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt

Ĉi tiu funkcio povas esti estimita kiel etendado de la integrala eksponenta funkcio al negativaj reelaj nombroj per

Ei(-x) = - E1(x)

Oni povas esprimi ilin ambaŭ per la tuta funkcio

{\rm Ein}(x) = \int_0^x (1-e^{-t})\,\frac{\mathrm dt}{t} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}

Uzante ĉi tiun funkcion, oni tiam povas difini, uzante la logaritmon

{\rm E}_1(x) \,=\, -\gamma-\ln x + {\rm Ein}(x)

kaj

{\rm Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - {\rm Ein}(-x)

La integrala eksponenta funkcio povas ankaŭ esti ĝeneraligita al

E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]