Intervalo (matematiko)

Intervalo estas subaro de partorda aro kiu entenas ĉion inter komenco kaj fino (komenco kaj fino estas elektata elementoj de aro).

Formalaj difinoj

Estu $(X,\preccurlyeq )$ partorda aro kaj estu $-\infty ,\infty$ du objektoj ne entenas en $X$. Dilatu ordo $\preccurlyeq$ ĝis $X\cup \{-\infty ,\infty \}$ tiel, por ke elemento $\infty$ estis plej granda ol ĉiaj aliaj elementoj el aro $X$, kaj elemento $-\infty$ malplej granda ol ĉiaj aliaj elementoj de aro $X$.

Por $x,y\in X\cup \{-\infty ,\infty \}$ tiel, ke$x\prec y$ oni definas sekvajn aroj, kiuj nomas intervalo, kiuj estas difinata per $x,y$:

• $(x,y)=:\{z\in X:x\prec z\prec y\}$ – malferma intervalo,
• $[x,y)=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\prec y\}$ – maldekstra ferma intervalo (dekstra malferma intervalo),
• $[x,y]=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\preccurlyeq y\}$ – ferma intervalo (duobla ferma),
• $(x,y]=:\{z\in X:x\prec z\preccurlyeq y\}$ – dekstra ferma intervalo (maldekstra malferma ).

Kelkaj aŭtoroj uzas formon $(x,y)_{X}$, $[x,y]_{X}$ ktp. por signi, ke intervalo estas en difina ordo. Foje anstataŭ $[x,y]$ oni skribas $\langle x,y\rangle$ kaj analogie por unuflankaj intervaloj.

Rimarku, ke signifo de intervalo $(x,y)$ kaj $\langle x,y\rangle$ estas malsama al la signifo de orda duopo.

Internacia normo ISO31-11 difinas sekvajn signifojn: $x,y$:

• $]x,y[=:\{z\in X:x\prec z\prec y\}$ ,
• $[x,y[=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\prec y\}$ ,
• $[x,y]=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\preccurlyeq y\}$ ,
• $]x,y]=:\{z\in X:x\prec z\preccurlyeq y\}$ .

Uzato de punktokomo ĉu komo estas dependa manieron de signifo de dekuma bazo.

Ecoj

Plej ofte en intervalo estas uzata lineara ordo, do en ĉi tiu ordo intervalo havas sekvajn ecojn:

• Komunaĵo de du intervaloj estas intervalo.
• Komplemento de intervalo estas intervalo aŭ kunaĵo du aroj.
• Kunaĵo de du aroj, kiuj havas malnulan komunaĵon estas intervalo.
• Malfermaj intervaloj en X kreas bazo de ia topologio en X