Kondiĉa distribuo

Se estas du kolektive distribuitaj hazardaj variabloj X kaj Y, la kondiĉa probabla distribuo de Y je donita X (skribita "Y | X") estas la probablodistribuo de Y kiam estas sciate ke X egalas al certa valoro.

Por diskretaj hazardaj variabloj, la kondiĉa probabla distribua funkcio povas esti skribita kiel P(Y = y | X = x). De la difino de kondiĉa probablo, ĉi tio estas

$P(Y=y|X=x)={\frac {P(X=x\ \mathrm {kaj} \ Y=y)}{P(X=x)}}={\frac {P(X=x|Y=y)P(Y=y)}{P(X=x)}}.$

Simile por kontinuaj hazardaj variabloj, la kondiĉa probabla denseca funkcio povas esti skribita kiel p_Y|X(y | x) kaj ĉi tio estas

$p_{Y|X}(y|x)={\frac {p_{X,Y}(x,y)}{p_{X}(x)}}={\frac {p_{X|Y}(x|y)p_{Y}(y)}{p_{X}(x)}}$

kie p_X,Y(x, y) donas la artikan distribuon de X kaj Y, dum p_X(x) donas la bagatelan distribuon por X.

La koncepto de la kondiĉa distribuo de kontinua hazarda variablo estas ne tiel intuicia kiel ĝi povus aspekti: borela paradokso montras ke kondiĉaj probablaj densecaj funkcioj povas ne esti invariantaj sub la koordinataj transformoj.

Se por diskretaj hazardaj variabloj P(Y = y | X = x) = P(Y = y) por ĉiuj x kaj y, aŭ por kontinuaj hazardaj variabloj p_Y|X(y | x) = p_Y(y) por ĉiuj x kaj y, tiam Y estas sendependa de X kaj ĉi tio ankaŭ enhavas ke X estas sendependa de Y.

Kiel funkcio de y por donita x, P(Y = y | X = x) estas probablo, do sumo super ĉiuj y (aŭ integralo se ĝi estas denseco) de ĝi estas 1. Kiel funkcio de x por donita y, ĝi estas verŝajneca funkcio, do la sumo super ĉiuj x povas ne esti 1.