Konstanta faktora regulo en integralado

La konstanta faktora regulo en integralado estas duala de la konstanta faktora regulo en diferencialado, kaj estas konsekvenco de la lineareco de integralado.

La pruvo startas de tio ke la de integralado estas inverso al diferencialado:

$y=\int {\frac {dy}{dx}}dx.$

Nun multipliku ambaŭ flankojn per la konstanto k. Ĉar k estas konstanto ĝi estas ne dependa de x:

$ky=k\int {\frac {dy}{dx}}dx.\quad {\mbox{(1)}}$

Uzu la konstantan faktoran regulon en diferencialado:

${\frac {d\left(ky\right)}{dx}}=k{\frac {dy}{dx}}.$

Integralu je x:

$ky=\int k{\frac {dy}{dx}}dx.\quad {\mbox{(2)}}$

Nun de (1) kaj (2) oni havas:

$ky=k\int {\frac {dy}{dx}}dx$

$ky=\int k{\frac {dy}{dx}}dx.$

Pro tio:

$\int k{\frac {dy}{dx}}dx=k\int {\frac {dy}{dx}}dx.\quad {\mbox{(3)}}$

Nun faru novan diferencialeblan funkcion:

$u={\frac {dy}{dx}}.$

Anstataŭigu en (3):

$\int kudx=k\int udx.$

Nun oni povas reanstataŭigi y-on per tio kio ĝi estis originale:

$y=u.\,$

Do:

$\int kydx=k\int ydx.$

Ĉi tio estas la konstanta faktora regulo en integralado.

Speciala okazo estas kun k=-1 :

$\int -ydx=-\int ydx.$