Konstanto de Eŭlero-Mascheroni

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Konstanto de Eŭlero-Mascheroni egalas al la oranĝkolora areo inter la du grafikaĵoj

En matematiko, konstanto de Eŭlero-Mascheroni (ankaŭ nomata kiel la Eŭlera konstanto) estas matematika konstanto difinita kiel limigo de diferenco inter sumo de harmona serio kaj natura logaritmo:

\gamma = \lim_{n \to \infty } [ (
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} ) - \ln(n) ]=\int_1^\infty({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x})\,dx

Ĝi estas kutime skribata per minuskla greka litero gamo γ.

Ĝia proksimuma valoro estas:

γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495...

En deksesuma sistemo ĝi estas proksimume:

γ ≈ 0,93C467E37DB0C7A4D1B...16

Konstanto de Eŭlero-Mascheroni estas malsama de la eŭlera nombro e, bazo de natura logaritmo.

Historio[redakti | redakti fonton]

La konstanto unue aperis en papero de Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes (Indekso de Eneström 43) de 1735. Eŭlero uzis simbolojn C kaj O por la konstanto. En 1790, itala matematikisto Lorenzo Mascheroni uzis simbolon A por la konstanto. La skribmaniero γ aperas nek en la skribadoj de Eŭlero nek de Mascheroni, kaj estis elektita poste pro ligeco al Γ funkcio.

Aperoj[redakti | redakti fonton]

La konstanto aperas, en multaj lokoj, inter alia en ( signifas ke ĉi tiu elemento enhavas eksplicitan ekvacion):

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

La nombro γ ne estas pruvita al esti racionalaneracionala. Ankaŭ, ĝi ne estas pruvita al esti algebratranscenda.

Ĉenfrakcia analitiko montras ke se γ estas racionala, ĝia denominatoro estas pli granda ol 10242080.

Rilato al Γ funkcio[redakti | redakti fonton]

γ estas minus la derivaĵo de la gama funkcio Γ je argumenta valoro 1. Tial:

 \ -\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1)

kie Ψ estas digama funkcio.

γ estas ankaŭ la limigo:

 \gamma = \lim_{x \to \infty} [ x - \Gamma ( \frac{1}{x} ) ]

Limigo rilatanta al la beta funkcio (esprimita per Γ funkcio) estas

 \gamma = \lim_{n \to \infty} [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} ]

Rilato al la zeta funkcio[redakti | redakti fonton]

γ povas ankaŭ esti esprimita kiel malfinia sumo (serio) kies termoj enhavas la rimanan zetan funkcion je pozitivaj entjeroj:

\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}
 = \ln ( \frac{4}{\pi} ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}

Alia serio rilatanta al la zeta funkcio:

 \gamma = \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1]
 = \lim_{n \to \infty} [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} ) ]
 = \lim_{n \to \infty} [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} ) ]

La eraro termo en la lasta ekvacio estas rapide malkreskanta funkcio de n. Tiel la formulo konvenas por kalkulado de la konstanto kun alta precizeco.

Alia estas la malsimetria limigo (Sondow, 1998):

 \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} ) = \lim_{s \to 1} ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} )

kaj

 \gamma = \lim_{x \to \infty} [ x - \Gamma ( \frac{1}{x} ) ]
 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n ( \lceil \frac{n}{k} \rceil - \frac{n}{k} )

Proksime rilatanta al ĉi tiu estas la racionala zeta seria esprimo:

\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) -
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}

kie \zeta(s,k) estas la zeta funkcio de Hurwitz;

Hn estas la n-a harmona nombro.

Elvolvado de iuj termoj en la zeta funkcio de Hurwitz rezultiĝas:

 H_n = \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon , kie 0 < \varepsilon < \frac {1} {252n^6}

Integraloj[redakti | redakti fonton]

γ rezultiĝas kiel valoro de difinitaj integraloj:

\gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx
 = - \int_0^1 { \ln\ln (\frac{1}{x} ) }\,dx
 = \int_0^\infty { (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} )e^{-x} }\,dx
 = \int_0^\infty { \frac{1}{x} ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} ) }\,dx

Difinitaj integraloj en kiuj γ estas inkluzivata estas:

 \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -\frac14(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}
 \int_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}

γ rezultiĝas kiel valoro de kelkaj de duopa integralo (Sondow 2003, 2005) kun ekvivalenta serio:

 \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} ).

Interesa komparo (J. Sondow 2005) estas la duopa integralo kaj alterna serio

 \ln ( \frac{4}{\pi} ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} )

Tiel \ln ( \frac{4}{\pi} ) povas esti konsiderata kiel alterna eŭlera konstanto.

La du konstantoj estas ankaŭ rilatantaj per du serioj (vidi _Sondow_ 2005 #2)

 \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} = \gamma
 \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) - N_0(n)}{2n(2n+1)} = \ln ( \frac{4}{\pi} )

kie N0(n) kaj N1(n) estas la kvanto de ciferoj "0" kaj "1", respektive, en la duuma prezento de n.

Serioj[redakti | redakti fonton]

γ rezultiĝas kiel valoro de malfiniaj serioj:

\gamma = \sum_{k=1}^\infty [ \frac{1}{k} - \ln ( 1 + \frac{1}{k} ) ]

La serio por γ estas ekvivalenta al serio de Nielsen (trovita en 1897):

 \gamma = 1 - \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\lfloor\log_2 k\rfloor}{k+1} .

En 1910, Vacca trovitis similan serion:


 \gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \lfloor \log_2 k \rfloor}{k}
 = \frac12-\frac13
 + 2(\frac14 - \frac15 + \frac16 - \frac17)
 + 3(\frac18 - \dots - \frac1{15}) + \dots

kie log2 estas la logaritmo kun bazo 2 kaj  \lfloor \, \rfloor estas la planka funkcio.

En 1926, Vacca trovis serion:


 \gamma + \zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}
 = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14(\frac14 + \dots + \frac18)
 + \frac19(\frac19 + \dots + \frac1{15}) + \dots


 \gamma = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k^2\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}
 = \frac1{2^2} + \frac2{3^2}
 + \frac1{2^2}(\frac1{5^2} + \frac2{6^2} + \frac3{7^2} + \frac4{8^2})
 + \frac1{3^2}(\frac1{10^2} + \dots + \frac6{15^2}) + \dots

(Krämer, 2005)

Serio de Vacca povas esti ricevita de integralo de Catalan de 1875 (Sondow kaj Zudilin):

 \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx

Ĉenfrakcia elvolvaĵo[redakti | redakti fonton]

La ĉenfrakcio elvolvaĵo de γ estas:

γ = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, ...]

Tiel

 \gamma = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ \ddots\ {}}}}}}

La ĉenfrakcia elvolvaĵo de γ enhavas almenaŭ 470000 erojn.

Asimptotaj elvolvaĵoj[redakti | redakti fonton]

Estas jenaj asimptotaj formuloj por γ:

\gamma \sim H_n - \ln ( n ) - \frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{12n^2 }} - \frac{1}{{120n^4 }} + ...
(Eŭlero)
\gamma \sim H_n - \ln ( {n + \frac{1}{2} + \frac{1}{{24n}} - \frac{1}{{48n^3 }} + ...} )
(Negoi)
\gamma \sim H_n - \frac{{\ln ( n ) + \ln ( {n + 1} )}}{2} - \frac{1}{{6n( {n + 1} )}} + \frac{1}{{30n^2 ( {n + 1} )^2 }} - ...
(Cesaro)

kie Hn estas la n-a harmona nombro.

La tria formulo estas ankaŭ nomita kiel la elvolvaĵo de Ramanujan.

e en potenco γ[redakti | redakti fonton]

Bazo de natura logaritmo e en potenco γ, la nombro eγ≈1,78107241799019798523650410310717954916964521430343... estas grava en nombroteorio. Iam ĝi estas skribata kiel γ' .

eγ egalas al jena limigo, kie pn estas la n-a primo:

 e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\ln p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}

Aliaj malfiniaj produtoj rilatantaj al eγ, kiuj rezultiĝas de la G-funkcio de Barnes:

 \frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\, (1+\frac{1}{n} )^n
 \frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\, (1+\frac{2}{n} )^n

Ankaŭ:

 e^{\gamma} = ( \frac{2}{1} )^{1/2} (\frac{2^2}{1 \cdot 3} )^{1/3} (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} )^{1/4}
 (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} )^{1/5} \cdots

kie la n-a faktoro estas la (n+1)-a radiko de

\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}

Ĉi tiu malfinia produto, unue esplorita de Ser en 1926, estis reesplorita per Sondow (2003) uzante supergeometriajn funkciojn.

Ĝeneraligoj[redakti | redakti fonton]

Eŭleraj ĝeneraligitaj konstantoj estas

\gamma_\alpha = \lim_{n \to \infty} [ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha} - \int_1^n \frac{1}{x^\alpha} \, dx ],

por 0 < α < 1, kaj estas γ la okazo de α=1. Ĉi tiu povas esti plui ĝeneraligita al

c_f = \lim_{n \to \infty} [ \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x) \, dx ]

por ajna malkreskanta funkcio f. Se

f_n(x) = \frac{\ln^n x}{x}

rezultiĝas konstantoj de Stieltjes, kaj

f_a(x) = x^{-a}

donas konstantojn

\gamma_{f_a} = \zeta(a) - \frac{1}{a-1}

kie denove aperas la limigo

\gamma = \lim_{a\to1}[ \zeta(a) - \frac{1}{a-1}]

La du-dimensia limiga ĝeneraligo estas la konstanto de Masser-Gramain.

Sciataj ciferoj[redakti | redakti fonton]

Eŭlero komence kalkulis la valoron kun 6 dekumaj ciferoj. En 1781, li kalkulis ĝin kun 16 dekumaj ciferoj. Mascheroni provis kalkuli kun 32 dekumaj ciferoj, sed faris erarojn en la 20...22-aj ciferoj. (startanta de la 20-a cifero, lia rezulto estas 1811209008239 la korekta valoro estas 0651209008240.)

Poste pli rapidaj komputiloj kaj algoritmoj permesis kalkuli la nombron kun pli multaj ciferoj de precizeco.[1]

Dato Kvanto de sciataj ciferoj Kalkulado de
1734 5 Leonhard Euler
1736 15 Leonhard Euler
1790 19 Lorenzo Mascheroni
1809 24 Johann Georg von Soldner
1812 40 F.B.G. Nicolai
1861 41 Oettinger
1869 59 William Shanks
1871 110 William Shanks
1878 263 John Couch Adams
1962 1271 Donald E. Knuth
1962 3566 D.W. Sweeney
1977 20700 Richard P. Brent
1980 30100 Richard P. Brent kaj Edwin M. McMillan
1993 172000 Jonathan Borwein
1997 1000000 Thomas Papanikolaou
Decembro 1998 7286255 Xavier Gourdon
Oktobro 1999 108 000 000 Xavier Gourdon & Patrick Demichel
16-a de julio de 2006 2 000 000 000 Shigeru Kondo [2]
8-a de decembro, 2006 116 580 041 Aleksander J. Yee [3]
15-a de julio, 2007 5 000 000 000 Shigeru Kondo (pretendis) [4]
1-a de januaro, 2008 1 001 262 777 Richard B. Kreckel (pretendis) [5]
3-a de januaro, 2008 131 151 000 Nicholas D. Farrer (pretendis) [6]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]

  1. Gourdon, X., Sebah, P; La eŭlera konstanto γ
  2. Wayback maŝino
  3. Wieczner, Jen (2007-03-02). Student Sets World Record For Math Constant Calculation - Studenta Ara Monda Rikordo Por Matematika Konstanta Kalkulo (Angla). La Ĉiutaga Nordokcidenta. Students Publishing Company. ISSN 1523-5033. Kontrolita en 2007-03-16.
  4. Pretendo farita en TTT-ejo de Shigeru Kondo
  5. Pretendo farita en Paĝo de Richard B. Kreckel en TTT-ejo de GiNaC
  6. TTT-ejo de Nicholas D. Farrer
  • A001620 en OEIS - γ
  • A002852 en OEIS - ĉenfrakcia elvolvaĵo de γ
  • Eric W. Weisstein, Konstanto de Eŭlero-Mascheroni en MathWorld.
  • "{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} Borwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. CrandallBorwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function - Komputaj strategioj por la rimana zeta funkcio". Journal of Computational and Applied Mathematics - Ĵurnalo de komputa kaj aplika matematiko 121: p.11 γ derivata kiel sumoj de rimana zeta funkcio.
  • Jonathan Sondow (1998) [1] Malsimetria formulo por eŭlera konstanto Matematika Revuo 71: 219-220.
  • Jonathan Sondow (2002) [2] Supergeometria proksimiĝo tra lineara formoj engaĝante logaritmojn al neracionalecaj kriterioj por eŭlera konstanto. Kun apendico de Sergey Zlobin
  • Jonathan Sondow (2003) [3] Malfinio produto por eγ tra supergeometriaj formuloj por eŭlera konstanto γ
  • Jonathan Sondow (2003a) [4] Kriterioj por neracionaleco de Eŭlera konstanto. Paperoj de la Amerika Matematika Socio 131: 3335-3344.
  • Jonathan Sondow (2005) "[5] Duopaj integraloj por Eŭlera konstanto kaj ln 4/π kaj analoga de _Hadjicostas_'s formulo. Amerika Matematika Monate 112: 61-65.
  • Jonathan Sondow (2005) [6] Nova Vacca-speca racionala serio por Eŭlera konstanto kaj ĝia alterna analogo ln 4/π
  • Jonathan Sondow kaj Wadim Zudilin, [7] Eŭlera konstanto, q-logaritmoj, kaj formuloj de ramanujan kaj Gosper. Ramanujan J. (al aperi).
  • Gourdon, Xavier kaj Sebah, P. (2002) [8] Kolekto de formuloj por eŭlera konstanto γ
  • Gourdon, Xavier kaj Sebah, P (2004) [9] La eŭlera konstanto γ.
  • [10] Konstanto de Eŭlero-Mascheroni en Biblioteko de Mathcad.
  • Krämer, Stefan [11] Eŭlera konstanto γ=0,577..., ĝia matematiko kaj historio
  • Jonathan Sondow