Kuba radiko

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Grafikaĵo de y=\sqrt[3]{x} por x≥0

En matematiko, kuba radiko de nombro x, skribata kiel \sqrt[3]{x}x1/3 estas nombro y tia ke y3 = x.

Ĉiu reela nombro havas akurate unu reelan kuban radikon. Reela kuba radiko estas nepara funkcio. Ekzemple:

La reela kuba radiko de 8 estas 2, ĉar 23 = 8.
La reela kuba radiko de -8 estas -2, ĉar (-2)3 = -8.

Se la nombro estas reela kaj ne nula, ĝi havas ankaŭ 2 malsamajn kompleksajn radikoj, kiuj estas kompleksaj konjugitoj unu de la alia. Ekzemple:

\sqrt[3]{1} = \begin{cases} \ \ 1 \\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}

Ĉiu nenula kompleksa nombro havas akurate 3 malsamajn kompleksajn kubajn radikojn. Ekzemple:

\sqrt[3]{-27i} = \begin{cases} 3i \\ \frac{3\sqrt3}{2}-\frac{3}{2}i \\ -\frac{3\sqrt3}{2}-\frac{3}{2}i \end{cases}

La kuba radika operacio estas ne asocieca kaj ne distribueca kun adicio kaj subtraho.

La kuba radika operacio estas asocieca kun potencigo kaj distribueca kun multipliko kaj divido, se konsideri nur reelajn nombrojn. Tamen se konsideri kompleksajn nombrojn, ĉi tio ne ĉiam veras. Ekzemple:

(\sqrt[3]{8})^3 = 8 (laŭ difino de la kuba radiko)

sed

\sqrt[3]{8^3} = \begin{cases} \ \ 8 \\ -4+4\sqrt{3}i \\ -4-4\sqrt{3}i \end{cases}

En kompleksaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Grafika prezento de la kompleksa kuba radiko. La unua bildo montras la ĉefan branĉon.
Rimana surfaco de la kuba radiko kun 3 branĉoj

Por kompleksaj nombroj, la ĉefa kuba radiko estas kutime difinita kiel

x^{1\over3} = \exp ( {\ln{x}\over3} )

kie ln(x) estas la ĉefa branĉo de la natura logaritmo. Se skribi x kiel

x = r \exp(i \theta)\,

kie r estas nenegativa reela nombro kaj -π < θ ≤ π, tiam la kompleksa kuba radiko estas

\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r}\exp ( {i\theta \over 3} )

Ĉi tiu signifas ke en polusaj koordinatoj oni prenas la reelan kuban radikon de la radiuso kaj dividas la polusan angulon per 3. Kun ĉi tiu difino, la ĉefa kuba radiko de negativa reela nombro estas kompleksa nombro, kaj ekzemple la ĉefa valoro de \sqrt[3]{-8} estas ne -2 sed 1 + i\sqrt{3}.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]