Logaritmo

Logaritmoj de diversaj bazoj:
XXXX ruĝa estas de bazo e,
XXXX verda estas de bazo 10,
XXXX purpura estas de bazo 1.7.

Logaritmoj de diversaj bazoj:
XXXX flava estas de bazo 2,
XXXX ruĝa estas de bazo e,
XXXX blua estas de bazo 1/2.
Vd la simetrion inter la flava kaj la blua kurboj.

Re(ln(z)) de kompleksa nombro z

Im(ln(z)) de kompleksa nombro z

|ln(z)| de kompleksa nombro z

La logaritmo aŭ logaritma funkcio estas inversa funkcio de la eksponenta funkcio. La funkcio estas markita per la literoj $\log$. Ĉi tiu agado trovas la potencon kiam estas donitaj la bazon kaj rezulton; tio estas, ĝi respondas la demandon "Kiome ni bezonos eksponenciale levi donitan nombron por akiri alian donitan nombron?". La logaritmo de a laŭ bazo b estas skribita $\log _{a}b$.

Formala difino

Logaritmo de iu nombro y je iu bazo a estas tiu nombro x, por kiu validas

a^x = y'

Logaritmo kun bazo a estas la inversa funkcio de eksponenta funkcio kun la sama bazo y = a^x kiel funkcio de x. Se la potenciga funkcio estas konsiderata kiel funkcio de a, ĝia inverso estas la x-a radiko.

Oni notas la logaritman funkcion de y je bazo a per la simbolo "log_a y" = x; ĝi estas diinita por ĉiuj pozitivaj variabloj (y ĉitie).

La logaritmaj funkcioj je diversaj bazoj a kaj b diferencas je konstanta faktoro, kiu egalas al log_ab = 1/log_ba; ekzemple:

log_ax = (1/log_ba). log_bx

La natura logaritmo estas la logaritmo kun bazo e, skribita kiel "ln y".

La natura logaritmo estas la inversa funkcio (alinomita reciproka funkcio) de eksponenta funkcio, t.e. x = ln(e^x).

La dekuma logaritmo (aŭ dekbaza logaritmo) estas la logaritmo kun bazo 10, skribita kiel "lg y".

Historia fono

La logaritmoj estis lanĉitaj en la frua 17-a jarcento fare de John Napier. Ĝis ilia anstataŭigo, unue per la antaŭulaj komputiloj kaj poste de kalkulilo, en la dua duono de la 20-a jarcento, logaritmoj estis grava ilo por kalkulado, uzante logaritmaj tabuloj kaj glitkalkulilo.

La baza ideo malantaŭ ĉi tiuj du komputadaj helpoj estas la regulo ke la logaritmo de produkto estas egala al la sumo de la logaritmoj de ĉiu el la membroj de la produkto. Tiu ĉi regulo ebligas anstataŭigi multiplikan operacion, kiu estas relative kompleksa operacio, per la pli simpla adicia operacio. Ĉi tiuj iloj estas uzataj baze de 10 de la dekuma nombrosistemo.

Kalkulado

En la historio de matematiko logaritmoj havis grandan signifon, ĉar multipliko de nombro egalas al adicio de iliaj logaritmoj, kaj adicio estas multe pli facile kaj rapide farebla ol multipliko (sen poŝkalkulilo). Tial iam ĉiu matematikisto kaj inĝeniero posedis libron kun tabeloj de logaritmoj (je bazo 10, kvar- aŭ kvin-ciferaj), per kiuj li povis multipliki pli rapide. Sur la sama principo baziĝas la glitkalkulilo, kiu havas logaritmajn skalojn, kiuj estas (fizike, per apudmeto) adiciataj.

Logaritmaj tabeloj

Kiam elektronikaj kalkuliloj ne ekzistis, la plej rapida maniero trovi (dekumajn) logaritmojn estis konsulti tabel-libron. La matematikisto Henry Briggs en 1617 publikigis la unuan tian tabelon, kiu enhavis 14-poziciajn logaritmojn de ĉiuj entjeroj ĝis 20.000 kaj de 90.000 al 100.000. La nederlandano Adrian VLACQ en 1628 komplementis la intervalon de 20.000 al 90.000 (kun 10 pozicioj).

14 pozicioj estas tre multaj, sed ili ne estis vere utiligeblaj en la praktiko, ĉar la logaritmojn de nombroj inter la listigitaj oni devis poli, kaj tio perdigis multon el la mirinda 14-pozicia precizeco.

Ĉar la logaritmoj de iu nombro kaj de ĝia dekoblo diferencas ekzakte je 1, ne necesas listigi ĉiujn nombrojn ek de 1; sufiĉas ajna intervalo inter iu nombro kaj ĝia dekoblo. Nunaj logaritmaj tabeloj kutime uzas la intervalon inter 0,1 kaj 1,0.

Terminoj

Ĉe uzo de logaritma tabelo por multipliko oni distingas inter la entjera kaj la frakcia partoj de la logaritmo. La entjera parto, kiu respondas al potencoj de 10 (do al la pozicio de la komo), nomiĝas karakteristiko, la frakcia parto mantiso.

La karakteristiko estas do tio, kion en komputa matematiko oni nomas eksponento, dum ke la mantiso estas la logaritmo de tio, kion la komputa matematiko nomas signifikaĵo.

La dekumaj logaritmoj (logaritmoj je bazo 10) estas nomataj laŭ la menciita Henry Briggs kiel "logaritmoj de Briggs". Logaritmoj je la bazo e nomiĝas "logaritmoj de Euler" (ĉar e estas ankaŭ nomata "nombro de Euler") aŭ "naturaj logaritmoj", mallonge "ln" (latine logarithmus naturalis). En komputiko gravas la "duumaj logaritmoj" (je bazo 2) kaj foje la "dek-ses-umaj logaritmoj" (je bazo 16).

Etimologio

La vorto logaritmo devenas el la helena lingvo, en kiu arithmos (αριθμoς) signifas "nombro" kaj logos (λoγoς) havas multegajn signifojn, inter ili "rilato".

Kuriozaĵo

La simbolo de la logaritmo, la tri literoj "log", havas propran unikodan signon kun la numero 13266 (㏒).

Vidu ankaŭ

• Diskreta logaritmo
• Logaritma integrala funkcio
• Inversaj hiperbolaj funkcioj estas difinitaj en la kompleksa ebeno per esprimoj kun logaritmoj
• Logaritma skalo
• Ripetita logaritmo

Iuj el la pioniroj pri logaritma kalkulado

• Jost Bürgi
• Nikolao Merkator
• John Napier