Logaritma spiralo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Salti al navigilo Salti al serĉilo
Logaritma spiralo kun ekvacio

(a = 1, b = 1,19, =80 gradoj)
Porcio de aro de Mandelbrot sekvanta logaritman spiralon

Logaritma spiralo estas kurbo, kies la ĝenerala ekvacio en polusa koordinatsistemo estas:

kie a kaj b estas reelaj numbroj strikte pozitivaj (b malsama ol 1) kaj la eksponenta funkcio kun bazo b.

Aŭ alie skribite:

t.e ke la logaritmo de la radiuso estas proporcia al la angulo en ĉiu punkto de la kurbo

Tia kurbo studita en la 17-a jarcento vekis la admiron de Jakob Bernoulli pro siaj senvariaj proprecoj, pro tio lo nomis ĝin ‘’Spira mirabilis’’ (“Mirinda”, “Mirakla” spiralo). Ĝi troviĝas en la naturo, ekzemple en la kresko de konkoj (e.g. Naŭtilo) por la aranĝo de sunfloraj semoj.

Matematikaj proprecoj[redakti | redakti fonton]

Ekvacioj[redakti | redakti fonton]

Logaritma spiralo intersekcas ĉiujn radiusojn laŭ sama angulo .

La formoj de la polusa ekvacio pri logaritma spiralo estas:

kun a pozitiva reela nombro, e konstanto de Eŭlero kaj m reela kaj ne nula nombro,

aŭ alimaniere antaŭmetante :

kun a , b du pozitivaj reelaj nombroj (‘’b’’ malsama ol 1).

Tio estas en kartezia koordinatsistemo:

En kompleksa ebeno estas:

Tiele aperas, ke la distancoj inter ĉiuj turnoj kreskas laŭ geometria vico kun multiplika faktoro , dum pri la arkimeda spiralo la distancoj kreskas laŭ aritmetika vico.

Egalangula spiralo[redakti | redakti fonton]

Logaritma spiralo rulas sur sia tanĝanto

La tanĝanto al la kurbo ĉe la punkto M difinas kun la rekto (OM) konstantan angulon laŭ la sekvanta propreco:

kie estas la natura logaritmo de la konstanto b, kiu difinas la spiralon.

Tiu propreco karakterizas la logaritmajn spiralojn, kiuj pro tio ofte nomatas “egalangulaj spiraloj”.

De tiu propreco sekvas, ke se oni ruligas logaritman spiralon sur ĝia tanĝanto, la centro de la spiralo moviĝas sur rekto[1] (Vd la apudan bidon).

Longo de arko[redakti | redakti fonton]

La longo de la arko inter la origino O kaj la punkto M de la spiralo estas proporcia al OM. La proporcickoeficiento estas egala al la kvadrata radiko de ; se α estas la angulo je kiu la spiralo intersekcas la radiusojn, ĉi tiu proporcieckoeficiento estas do egala al , pro la valoro de :.

Kurboradiuso[redakti | redakti fonton]

La kurboradiuso R estas rekte proporcia al r laŭ la sekvanta formulo:

.

Rotacio, memsimileco[redakti | redakti fonton]

Rotaciante la spiralon per iu angulo kondukas al la spiralon , kiu estas la antaŭa spiralo transformita per homotetio laŭ la origino kun koeficiento .

Referencoj kaj ligiloj[redakti | redakti fonton]

  1. Propreco trovita sur ‘’mathcurve’’, [1] (france)

En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el la artikolo Spirale logarithmique en la franca Vikipedio.