Malderivaĵo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Se f estas funkcio kun reelakompleksa argumento, nomatas kiel malderivaĵo ĉiu funkcio g, kies derivaĵo egalas al f, t.e. g′ = f.

Laŭ la fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo, la nedifinita integralo de funkcio f ĉiam estas unu el la malderivaĵoj de f.

Funkcio Derivaĵo malderivaĵo
f(x)=k\; f'(x)=0\; F(x)=kx+C\;
f(x)=x^q\; f'(x)=qx^{q-1}\; F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^{q+1}}{q+1}+C, & \mbox{se q}\neq-1 \\ 
                                     \ln|x|+C,              & \mbox{se q}=-1 
               \end{matrix}\right.
f(x)=e^x\; f'(x)=e^x\; F(x)=e^x+C\;
f(x)=a^x\; f'(x)=a^x\ln a\; F(x)=\frac{a^x}{\ln a}+C\;
f(x)=\ln x\; f'(x)=\frac{1}{x}\; F(x)=x\ln x -x+C\;
f(x)=\log_a x\; f'(x)=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}\; F(x)=\frac{1}{\ln a}(x\ln x -x)+C\;
f(x)=\sin x\; f'(x)=\cos x\; F(x)=-\cos x +C\;
f(x)=\cos x\; f'(x)=-\sin x\; F(x)=\sin x+C\;
f(x)=\tan x\; f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}\; F(x)=-\ln\left|\cos x\right|+C\;
f(x)=\cot x\; f'(x)=\frac{1}{\sin^2 x}\; F(x)=\ln\left|\sin x\right|+C\;
f(x)=\arcsin x\; f'(x)=\frac {1} {\sqrt{1-x^2}}\; F(x)=x \arcsin x +\sqrt {1-x^2}\;
f(x)=\arccos x\; f'(x)=\frac {-1} {\sqrt{1-x^2}}\; F(x)=x \arccos\;x -\sqrt {1-x^2}\;
f(x)=\arctan x\; f'(x)=\frac {1} {1+x^2}\; F(x)=x \arctan x -\frac {1}{2} ln \left(1+x^2 \right)\;
f(x)=\sinh x\; f'(x)=\cosh x\; F(x)=\cosh x\;
f(x)=\cosh x\; f'(x)=\sinh x\; F(x)=\sinh x\;
f(x)=\tanh x\; f'(x)=\frac {1} {\cosh^2 x}\; F(x)=\ln \left|\cosh x\right|\;
f(x)=\coth x\; f'(x)=\frac {-1} {\sinh^2 x}\; F(x)=\ln \left|\sinh x\right|\;
f(x)=\text{arcsinh}\;x\; f'(x)=\frac {1} {\sqrt {x^2+1}}\; F(x)=x\;\text{arcsinh}\;x -\sqrt {x^2+1}\;
f(x)=\text{arccosh}\;x\; f'(x)=\frac {1} {\sqrt {x^2-1}}\;,\;x>1 F(x)=x\;\text{arccosh}\;x -\sqrt {x^2-1}\;
f(x)=\text{arctanh}\;x\; f'(x)=\frac {1} {1-x^2}\;,\;\left| x \right|<1 F(x)=x\;\text{arctanh}\;x +\frac {1}{2}\ln {\left( 1-x^2 \right)}\;
f(x)=\text{arccoth}\;x\; f'(x)=\frac {1} {1-x^2}\;,\;\left| x \right|>1 F(x)=x\;\text{arccoth}\;x +\frac {1}{2}\ln {\left( x^2-1\right)}\;

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]