Matrico

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Temas pri... Ĉi tiu artikolo temas pri la matematika termino Matrico. Por aliaj signifoj vidu la paĝon Matrico (apartigilo).

Matrico estas ortangula tabelo kun datenoj nomataj elementojkoeficientoj.

Difinita sur aro da matricoj algebra strukturo ebligas fari algebrajn operaciojn per matricoj. Plej ofte koeficientoj de matrico estas elementoj de ia KorpoRingo, sed ĝenerale sufiĉas laŭvola abstrakta strukturo, de kiuj elementoj povas adicii kaj multipliki.

Matricoj estas uzataj por priskribi sistemojn de linearaj ekvacioj.

Aroteoria difino[redakti | redakti fonton]

Matrico \mathbf A de tipo m \times n, kaj m, n \in \mathbb N nomas funkcion

\mathbf A\colon \{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\} \to X,

kiam X estas laŭvola ne malplena aro. Fonto-aro \{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\} estas kartezia multipliko de aroj \{1, 2, \dots, m\} kaj \{1, 2, \dots, n\}.

Pri matrico \mathbf A oni diras, ke estas difinita sur aro X\,.


Se R estas Ringo, (n,p)-Matrico super R estas ortangula skemo de n·p elementoj de R, skribebla

R=\begin{bmatrix}
 a_{11}   & a_{12}   & \cdots & a_{1p}   \\
 a_{21}   & a_{22}   & \cdots & a_{2p}   \\
   \cdots &   \cdots & \cdots &   \cdots \\
 a_{n1}   & a_{n2}   & \cdots & a_{np}   \end{bmatrix}

Oni ankaŭ povas vidi matricon kiel bildigo de indeksita aro I×J al R (kie I = {1, ... p}, J = {1,...n} aŭ inverse), aŭ kiel p-opo de n-opo (aŭ inverse) de elementoj el R.

La aro da ĉiuj (n,p)-matricoj estas modulo super R (aŭ vektora spaco, se R estas Kampo.)


Terminologio[redakti | redakti fonton]

Kolumnoj de matrico
Linioj de matrico

Unuopaj valoroj de funkcio nomiĝas elementoj de matrico. La aro de elementoj de matrico orditaj horizontale estas nomita linio (aŭ verso) de la matrico, kaj la aro de elementoj de matrico orditaj vertikale estas nomita kolumno de la matrico. Matrico kun m linioj kaj n kolumnoj nomiĝas m \times n-matrico.

Elementoj de matrico difiniĝas per orda duopo de nombroj, kiu nomiĝas montrilojnindeksojn. La unua nombro de elemento montras ĝian linion kaj la dua ĝian kolumnon. Alivorte elemento, kiu lokiĝas en la kruciĝo de la i-a linioo kaj de la j-a kolumno, estas la (i,j) elemento.

Se unu el dimensioj de matrico egalas unu, ĝi ofte nomiĝas vektoro. Matrico de tipo m \times 1 (unu kolumno kaj m versoj) nomiĝas kolumna vektoro, kaj matrico de tipo 1 \times n (unu linio kaj n kolumnoj) nomiĝas linia vektoro.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Matrico

\mathbf A = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{bmatrix}

estas tipo 4 \times 3. Laŭ aroteoria difino, tiu matrico estas funkcio \mathbf A\colon \{1, 2, 3, 4\} \times \{1, 2, 3\} \to \mathbb R

Elemento je indeksoj 2, 3 estas 7\, alivorte \mathbf A((2, 3)) = 7. Tria linio havas elementojn \mathbf 4,9,2.

Matrico

\mathbf R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

estas 1 \times 9 -matrico aŭ 9-elementa linia vektoro.

Simboloj por matricoj[redakti | redakti fonton]

Estas diversaj skribmanieroj por matricoj - kutime oni uzas rondajn krampojn [1] aŭ kvadrata, malofte [2] skribmaniero en du vertikalaj strekoj ekz.:

\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}, \qquad \begin{Vmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -1 \end{Vmatrix}.

Matricoj preskaŭ ĉiam estas skribata per granda litero ekz.: \mathbf A. Por indiki tipo de matrico uzas signojn sub simbolo de matrico, ekz.:\underset{m \times n}{\mathbf A}.

Por indiki elementoj de matrico oni uzas sama litero kiel por matrico sed nur malgranda kun du subaj indeksoj [3] ekz.: (i, j)\,-elemento de matrico \mathbf A oni skribas kutime kiel a_{i,j}\,, foje ankaŭ \mathbf A[i,j]\mathbf A_{i,j}

Por indiki liniokolumno de matrico \mathbf A oni uzas \mathbf A_i (kun indiko ĉu temas pri linio ĉu kolumno).

Multaj aŭtoroj por signi matricojn uzas specialan stilo de tipografo, plej ofte dika (ne kursiva) por ke distingi ilin disde ceteraj variabloj. Laŭ ĉi tiu \mathbf A estas matrico kaj A estas skalaro.

Por difini matrico de tipo m \times n, ofte oni skribas \mathbf A := (a_{i,j})_{i = 1, \dots, m;\; j=1, \dots, n} lub \mathbf A := (a_{i,j})_{m \times n}. Laŭ tiu indeksoj a_{i,j}\, estas difinata sendepende por ĉiuj entjeroj 1 \leqslant i \leqslant m kaj 1 \leqslant j \leqslant m [4].

Aro de ĉiuj m \times n-matricoj super aro X\, oni skribas per simbolo X^{m \times n}, X_m^nM_{m,n}(X)\,.


Notoj kaj referencoj[redakti | redakti fonton]

  1. laŭ A. Cayley A Memoir on the Theory of Matrices (1855) PDF-dosiero
  2. laŭ A. Cayley Mémoire sur les Hyperdéterminants, Crelle Journal 30 (1846) PDF-dosiero
  3. foje kun du supraj indeksoj aŭ unua supra kaj du suba indekso
  4. En kelkaj programlingvoj numerado de versoj kaj kolumnoj komencas ekde nulo. Ene artikoloj enhavantaj tian lingvon tiu maniero estas kopiata, kaj tiam 0 \leqslant i \leqslant m-1 kaj 0 \leqslant j \leqslant n-1

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/matrix.en 
http://www.yonoentiendo.com/content/view/35/44 
http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=11912&forum=41 
http://www.easycalculation.com/matrix/index.php