Modulo de Young

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En solida mekaniko, modulo de Young (E) estas mezuro de la malmoleco de izotropa elasta materialo. Ĝi estas ankaŭ sciata kiel la elasta modulo, modulo de elasteco (kvankam la elasta modulo estas reale nur unu el kelkaj, inter kiuj estas la ampleksa modulo kaj la tonda modulo). Ĝi estas difinita kiel la rilatumo de la unuaksa streĉo al la unuaksa tensio en la limigo de streĉo tia ke la leĝo de Hooke veras. Ĉi tio povas esti eksperimente difinita de la inklino de streĉo-tensia kurbo de dilataj testoj de specimeno de la materialo.

La elasta modulo priskribas konduton de relative longa specimeno el izotropa elasta materialo je dilata aŭ kunprema ŝarĝo. Por dilata ŝarĝo, la specimeno povas esti arbitre madika, ekzemple drato, fibrofadeno povas esti konsiderata. Por kunprema ŝarĝo, tro maldika specimeno povas montri malstabilecon de maldika specimeno. Tipa rilatumo de longo al diko de la specimeno dum la provoj estas 10:1.

Ankaŭ la kruco-sekcia areo de la objekto ŝanĝiĝas kiam forto estas aplikata, ĉi tiu fenomeno ne estas konsiderata en ĉi tiu okazo, kaj la valoro E temas pri okazo en kiu la objekto havas liberan eblecon ŝanĝi sian kruco-sekcian areon, ne estas iuj ajn obstakloj deflanke.

Por multaj materialoj, elasta modulo estas esence konstanto por sufiĉe granda limigo de tensioj. Ĉi tiaj materialoj estas do linearaj, alivorte ili obeas la leĝon de Hooke. Ekzemploj de linearaj materialoj estas ŝtalo, vitro, karbona fibro. Kaŭĉuko kaj grundoj estas ne-linearaj materialoj, escepti de okazo de tre malgrandaj tensioj.

Elasta modulo E povas esti kalkulita per divido de la streĉo per la tensio:

 E = \frac{\sigma}{\varepsilon}= \frac{\frac{F}{A_0}}{\frac{\Delta L}{L_0}} = \frac{F L_0} {A_0 \Delta L}

kie E estas la elasta modulo

F estas la forto aplikata al la objekto;
A0 estas la originala kruco-sekcia areo tra kiu la forto estas aplikata;
ΔL estas la kvanto per kiu la longo de la objekto ŝanĝiĝas;
L0 estas la originala longo de la objekto.

Tiel forto farata de streĉita aŭ kunpremita materialo estas

 F = \frac{E A_0 \Delta L} {L_0}

La konstanto k de la leĝo de Hooke, kiu priskribas la malmolecon, povas esti derivita el ĉi tiu formulo.

 F = \left( \frac{E A_0} {L_0} \right) \Delta L = k x

kie x = ΔL. Do

 k = \frac {E A_0} {L_0}

Elasta modulo povas iom variĝi pro diferencoj en specimena komponaĵo kaj prova maniero. La kurzo de malformigado havas la plej grandan influon sur la datumojn, aparte por polimeroj.

Courbe contrainte vs deformation.png

Noto ke elasta modulo estas priskribo de malmoleco de materialo, ne de konstruaĵo. Kvankam kiel materialo polietileno estas pli mola ol ŝtalo, dika aĵo de polietileno povas esti pli malmola ol maldika aĵo de ŝtalo

Mezurunuoj[redakti | redakti fonton]

Elasta modulo estas la rilatumo de streĉo, kiu havas unuojn de premo, kaj tensio, kiu estas sendimensia. Tiel elasta modula havas mezurunuoj de premo.

La SI-a unuo de modulo de elasteco estas la paskalo (Pa), kiu egalas al N/m2.

La praktikaj unuoj estas megapaskalo (MPa aŭ N/mm2) aŭ gigapaskaloj (GPa aŭ kN/mm2).

En usonaj kutimaj unuoj, elasta modula estas esprimata en pundoj por kvadrata colo.

Neizotropaj materialoj[redakti | redakti fonton]

Elasta modulo estas ne ĉiam la sama en ĉiuj orientiĝoj de materialo. Plejparto de metaloj, ceramikoj kaj la aliaj materialoj estas izotropaj, kio estas ke iliaj mekanikaj propraĵoj estas la samaj en ĉiuj direktoj.

Tamen, estas materialoj kies propraĵoj ne estas la samaj en ĉiuj direktoj. Ekzemple metaloj povas esti mekanike prilaboritaj tiel ke iliaj grajnaj strukturoj estas direktitaj. Ĉi tiuj materialoj tiam iĝi neizotropajn, kaj elasta modulo tiam estas dependanta de tio je kiu direkto la forto estas aplikita.

Malizotropeco okazas en multaj komponigitaj materialoj. Ekzemple, plasto kun karbona fibro havas multe pli grandan elastan modulon (estas multe malpli elasta) se forto estas aplikata paralele al la fibroj (laŭ la grajnoj). Aliaj ĉi tiaj materialoj estas ligno kaj ŝtalbetono.

Elasta potenciala energio[redakti | redakti fonton]

La elasta potenciala energio Ue estas donita per la integralo de esprimo por la forto kun respekto al movo ΔL:

 U_e = \int {\frac{E A_0 \Delta L} {L_0}}\, d \Delta L = \frac {E A_0} {L_0} \int { \Delta L }\, d \Delta L = \frac {E A_0 {\Delta L}^2} {2 L_0}

La elasta potenciala energio por unuobla volumeno estas:

 \frac{U_e} {A_0 L_0} = \frac {E {\Delta L}^2} {2 L_0^2} = \frac {1} {2} E {\varepsilon}^2

kie \varepsilon = \frac {\Delta L} {L_0} estas la tensio en la materialo.

Ĉi tiu formulo povas ankaŭ esti esprimita kiel la integralo de la leĝo de Hooke:

 U_e = \int {k x}\, dx = \frac {1}{2} k x^2

Rilato inter elastaj konstantoj[redakti | redakti fonton]

Por homogenaj izotropaj materialaj ekzistas interrilatoj inter elastaj konstantoj (elasta modulo E, tonda elasta modulo G, ampleksa modulo K, kaj rilatumo de Poisson ν):

E = 2G(1+ν) = 3K(1-2ν)

Valoroj de elasta modulo[redakti | redakti fonton]

Jen estas proksimumaj valoroj de elasta modulo por diversaj materialoj.

Puraj metaloj kaj metalo-similaj elementoj

Materialo Elasta modulo, MPa
Arĝento (Ag) 83000
Aluminio (Al) 69000
Oro (Au) 78000
Bario (Ba) 13000
Berilio (Be) 240000 ??? 287000
Bismuto (Bi) 32000
Kadmio (Cd) 50000
Kobalto (Co) 209000
Kromo (Cr) 289000
Cezio (Cs) 1700
Kupro (Cu) 124000 ??? 117000
Fero (Fe) 196000
Germaniumo (Ge) 89600
Indio (In) 11000
Iridio (Ir) 528000
Litio (Li) 4900
Magnezio (Mg) 45000
Mangano (Mn) 198000
Molibdeno (Mo) 329000
Natrio (Na) 10000
Niobio (Nb) 105000
Nikelo (Ni) 214000 ??? 200000
Osmio (Os) 550000
Plumbo (Pb) 16000 ??? 18000
Paladio (Pd) 121000
Plateno (Pt) 168000
Plutonio (Pu) 96000
Rubidio (Rb) 2400
Rodio (Rh) 275000
Rutenio (Ru) 447000
Skandio (Sc) 74000
Seleno (Se) 10000
Stano (Sn) 41500
Tantalo (Ta) 186000
Titano (Ti) 114000 ??? 105000
Uranio (U) 208000
Vanado (V) 128000
Volframo (W) 406000
Zinko (Zn) 78000
Zirkonio (Zr) 68000

Metalaj alojoj

Materialo Elasta modulo, MPa
Aluminia alojo AU4G 75000
Konstrua ŝtalo 210000
Risorta ŝtalo 220000
Rustorezista ŝtalo 18-10 203000
Bronzo (kupro kun 9...12% de stano) 124000
Berilia bronzo 130000
Latunoj (Cu kaj Zn) kaj bronzoj (Cu kaj Sn) 78000 ... 125000
Titanaj alojoj 105000 ... 120000

Vitroj, ceramikoj, mineraloj

Materialo Elasta modulo, MPa
Arseno 8000
GaAs 85500
Alte forteca betono (sub kunpremo) 30000
Betono 20000 ... 50000
Briko 14000
Karbido de kromo (kroma karbido) (Cr3C2) 373130
Karbido de silicio (silicia karbido) (SiC) 450000
Karbido de titano (titana karbido) (TiC) 440000
Karbido de volframo (volframa karbido) (WC) 650000 ??? 450000 ... 650000
Karbido de zirkonio (zirkonia karbido) (ZrC) 380000 ... 440000
Solo-mura nanotubo 1000000+
Diamanto (C) 1000000 ??? 1220000
Grafito (C) 30000
Granito 60000
Kalkoŝtono (CaCO3, ŝtonoj) 20000 ... 70000
Marmoro (CaCO3) 26000
Al6Se2O13 145000
Aluminia oksido (Al2O3) 390000
Oksido de berilio (BeO) 30000
Oksido de magnezio (MgO) 250000
Oksido de zirkonio (ZrO) 200000
Safiro (Al2O3) 420000 ??? laŭ C-akso 435000
Oksido de silicio (SiO2) 107000
Ti3Al 140000
BaTiO3 67000
Vitro 69000 ??? (50000 ... 90000)
Vitro (SiO2, Na2CO3, CaCO3) 72000
Multkristala itria fera grenato 193000
Solo-kristala itria fera grenato 200000
Glacio (H2O) 3000

Lignoj

Materialo Elasta modulo, MPa
Bambuo (laŭ longo de grajnoj) 20000
Roza ligno (Brazilo) (laŭ longo de grajnoj) 16000
Roza ligno (Barato) (laŭ longo de grajnoj) 12000
Piceo (laŭ longo de grajnoj) 13000
Mahagono (Afriko) (laŭ longo de grajnoj) 12000
Kverko (laŭ longo de grajnoj) 11000 ??? 12000
Acero (laŭ longo de grajnoj) 10000
Frakseno (laŭ longo de grajnoj) 10000
Pino (laŭ longo de grajnoj) 8963
Papero 3000 ... 4000
Mezo-denseca ligna fibra tabulo 3654
Ligno perpendikulare al grajnoj 230 ... 1330

Polimeroj

Materialo Elasta modulo, MPa
Gumo (malgranda tensio) 10 ... 100
Plasto armaturizita per vitra fibro (70/30 per de pezo de fibro/matrico, unudirekta, laŭ grajnoj) 40000 ... 45000
Plasto armaturizita per karbona fibro (50/50 fibro/matrico, unudirekta, laŭ grajnoj) 125000 ... 150000
Kevlaro 34500
Nilono 2000 ... 5000
Organika vitro 2380
Polikvarfluoretileno 500
Malalte denseca polietileno 200
Alte denseca polietileno 800
Polistireno 3000 ... 3400
Poliestero 1000 ... 5000
Polipropileno 1500 ... 2000
Polietilena tereftalato 2000 ... 2700

Biologiaj materialoj

Materialo Elasta modulo, MPa
Kartilago 24
Karapaco de diatomeo (grandparte silicia acido) 350 ... 2770
Haro 10000
Kolageno 6
Femurosto 17200
Osto 18000 ... 21000
Humero 17200
Dorno de marerinaco 15000 ... 65000
Silko de araneo 60000
Tibio 18100
Kol-vertebraro 230
Perlamoto (grandparte kalcia karbonato) 70000
Emajlo de dento (grandparte kalcia fosfato) 83000

Historio[redakti | redakti fonton]

Elasta modulo estas nomita post brita sciencisto Thomas Young (1773 - 1829). Tamen, la koncepto estis ellaborita en 1727 de Leonhard Euler, kaj la unuaj eksperimentoj kiuj uzis la koncepton de elasta modulo en ĝia aktuala formo estis plenumitaj de itala sciencisto Giordano Riccati en 1782, je 25 jaroj antaŭ la laboro de Young.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]

Izotropa prema modulo KModulo de Young EUnua parametro de Lamé λTonda elasta modulo GRilatumo de Poisson νP-onda modulo M
Konvertaj formuloj
(propraĵoj de izotropa materialo estas plene difinitaj per iuj du el la valoroj, la aliaj povas esti kalkulitaj)
(λ, G) (E, G) (K, λ) (K, G) (λ, ν) (G, ν) (E, ν) (K, ν) (K, E) (M, G)
K= \lambda+\tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G-E)} \lambda\tfrac{1+\nu}{3\nu} \tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)} \tfrac{E}{3(1-2\nu)} M-\tfrac{4G}{3}
E= G\tfrac{3\lambda + 2G}{\lambda + G} 9K\tfrac{K-\lambda}{3K-\lambda} \tfrac{9KG}{3K+G} \tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} 2G(1+\nu)\, 3K(1-2\nu)\, G\tfrac{3M-4G}{M-G}
λ= G\tfrac{E-2G}{3G-E} K-\tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1-2\nu} \tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1+\nu} \tfrac{3K(3K-E)}{9K-E} M - 2G\,
G= 3\tfrac{K-\lambda}{2} \lambda\tfrac{1-2\nu}{2\nu} \tfrac{E}{2(1+\nu)} 3K\tfrac{1-2\nu}{2(1+\nu)} \tfrac{3KE}{9K-E}
ν= \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G}-1 \tfrac{\lambda}{3K-\lambda} \tfrac{3K-2G}{2(3K+G)} \tfrac{3K-E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M= \lambda+2G\, G\tfrac{4G-E}{3G-E} 3K-2\lambda\, K+\tfrac{4G}{3} \lambda \tfrac{1-\nu}{\nu} G\tfrac{2-2\nu}{1-2\nu} E\tfrac{1-\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} 3K\tfrac{1-\nu}{1+\nu} 3K\tfrac{3K+E}{9K-E}