Plurvariabla kalkulo

En matematiko, plurvariabla kalkulo estas vastigaĵo de kalkulo de unu variablo al kelkaj sendependaj variabloj. La funkcioj estas diferencialataj kaj integralaj je kelkaj variabloj anstataŭ nur unu variablo.

La aro de skalaraj sendependaj variabloj, kiuj estas argumentoj de konsiderata funkcio, povas esti konsiderata kiel vektoro. Vektora kalkulo estas branĉo de plurvariabla kalkulo kiu konsideras okazon ĉe kiu ne nur argumento sed ankaŭ valoro de la funkcio povas esti vektoro.

En plurvariabla kalkulo kutime estas prenate ke la kvanto de sendependaj variabloj estas finia. Unu el terenoj de matematiko kiu konsideras okazon de malfinie multaj sendependaj variabloj estas funkcionala kalkulo.

Limigo kaj kontunueco

Limigo de funkcio je donita punkto ekzistas se kiam la argumento proksimiĝas al la donita punkto tiam valoro, al kiu strebas valoro de la funkcio, ekzistas kaj estas la sama por ĉi vojo de proksimiĝo de la argumento al la donita punkto.

Same kiel en unu-dimensia okazo, funkcio estas kontunua je donita punkto se ĝi havas ĉe la punkto limigon kaj la limigo egalas al valoro de la funkcio en la punkto.

Nocio de proksimeco estas bezonata. Tiel la spaco de argumentoj estas konsiderata kiel normigita vektora spaco, la normo uzata estas kutime la eŭklida normo. Tamen, en ĉi tiu okazo kiu estas finie-dimensia, ĉiuj normoj estas ekvivalentaj kaj do la elekto de normo ne gravas por ekzisto kaj valoro de limigo kaj kontinueco de funkcio.

En plurdimensia okazo aperas multaj intuicie malnormalaj rezultoj ne aperantaj ĉe unu-variablaj funkcioj.

Ekzemple, ekzistas skalaraj funkcioj de du variabloj havantaj punktojn en ilia domajno kiuj, kiam estas alirataj laŭ ajna rekto, donas apartan la saman limigon, sed donas malsaman limigon kiam estas aliritaj laŭ parabolo. Funkcio

$f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}$

proksimiĝas al nulo laŭ ĉiu rekto tra la (0, 0). Tamen, se la (0, 0) estas alirita laŭ parabolo y = x², la funkcio havas limigon 1/2. Pro tio ke preno de malsamaj vojoj al la sama punkto donas malsamajn valorojn de la limigo, la limigo ne ekzistas.

Parta derivaĵo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Parta derivaĵo.

La parta derivaĵo ĝeneraligas la nocion de la ordinara derivaĵo. Parta derivaĵo de plurvariabla funkcio estas derivaĵo kun respekto al unu variablo kun ĉiuj alia variabloj tenataj konstantaj.

Partaj derivaĵoj povas esti kombinitaj por krei pli komplikajn esprimojn de la derivaĵo. En vektora kalkulo tiel estas konstruitaj gradiento, diverĝenco, kaj kirlo per partaj derivaĵoj. Matrico de partaj derivaĵoj, la jakobia matrico, povas esti uzata por prezenti derivaĵon de funkcio inter du spacoj de ajnaj dimensioj.

Diferenciala ekvacio enhavanta partajn derivaĵojn estas diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj (PDE). Ĉi tiuj ekvacioj estas ĝenerale pli malfacilaj por solvi ol ordinaraj diferencialaj ekvacioj kiuj enhavas derivaĵojn kun respekto al nur unu variablo.

Plura integralado

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Plura integralo.

La plura integralo elvolvas la koncepton de integralo al funkcioj de multaj variabloj. Duopaj kaj triopaj integraloj povas esti uzataj por kalkuli areon kaj volumenon de regionoj en ebeno kaj spaco. Teoremo de Fubini statas ke plura integralo povas esti komputita kiel ripetita integralo.

Kurba integralo kaj surfaca integralo estas uzataj por integrali tra kurboj kaj surfacoj.

Fundamenta teoremo de kalkulo en pluraj dimensioj

En unu-variabla kalkulo, la fundamenta teoremo de kalkulo donas ligon inter la derivaĵo kaj la integralo. La ligo inter la derivaĵo kaj la integralo en plurvariabla kalkulo estas donita per jenaj teoremoj de vektora kalkulo:

• Gradienta teoremo
• Diverĝenca teoremo
• Teoremo de Stokes
• Teoremo de Green

Ĉi tiuj kvar teoremoj estas specifaj okazoj de pli ĝenerala teoremo, la ĝeneraligita teoremo de Stokes, kiu povas esti aplikata al integralado de diferencialaj formoj sur sternaĵoj.

Iuj objektoj

Teknikoj de plurvariabla kalkulo povas esti uzataj por studi iujn objektojn.

Kurbo estas listigita ĉi tie grandparte por pleneco. Nur konsidero de implice donita kurbo (kiel F(x, y)=0) bezonas plurvariablan kalkulon, parametre donita kurbo estas donita per funkcioj de nur unu variablo.

Objekto		Prezento per funkcio	Iuj konsidereblaj operacioj kaj propraĵoj
Kurbo		Parametra $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ Implica en ebeno R2: F(x, y)=0 kaj la aliaj variantoj eblas	Longo, areo limigita per la kurbo, kurbeco, tordeco, kurba integralo
Surfaco		Parametra $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$ kaj la aliaj variantoj eblas	Areo, volumeno limigita per la surfaco, surfaca integralo, fluo tra surfaco, kurbeco, gaŭsa kurbeco
Hipersurfaco		Parametra $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$, m<n, kaj la aliaj variantoj eblas	Hiperareo, hipervolumeno limigita per la hipersurfaco, kurbeco
Skalara kampo		$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	Maksimumo, minimumo, multiplikanto de Lagrange, gradiento, direkta derivaĵo
Vektora kampo		$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$	Diverĝenco, kirlo

Uzoj

Plurvariabla kalkulo povas esti aplikita por analizi en kiuj iu kampo havas sian valoron malsaman en spaco aŭ tempo, tiel ke entute estas ne malpli ol du dimensiaj variabloj de kuj ĝi dependas, do minimume du spacaj dimensioj aŭ tempo kaj minimume unu spaca dimensio. Ofte per taŭga elekto de la koordinatosistemo eblas foriri de uzo de plurvariabla kalkulo. Ekzemple, priskribo de sfero-simetria kampo bezonas plurvariablan kalkulon en karteziaj koordinatoj, sed por ĝi sufiĉas ordinara kalkulo en polusaj koordinatoj, ĉar tiam la kampo ne dependas de la angulaj koordinatoj kaj do dependas de nur unu variablo - distanco de la centro.

Plurvariabla kalkulo kutime ne bezonatas por analizi sistemojn (dinamikajn sistemojn) kiuj havas plurajn gradojn de libereco. Kutime tiam estas uzata aparta variablo por ĉiu el la gradoj de libereco, sed ĉi ĉiuj variabloj estas fakte dependaj variabloj kaj sendependa variablo estas nur unu - tempo. Tamen ankaŭ en ĉi tiu okazo eblas konsideri dependecon de konduto de la sistemo de la dependaj variabloj, kiuj dum la analizado estas kosiderataj kiel sendependaj, kaj tiel plurvariabla kalkulo provizas aldonajn ilojn por ekscii dinamikon de la sistemo.

Vidu ankaŭ

• Vektora kalkulo
  • Gradiento (matematiko), diverĝenco, kirlo (matematiko)
  • Nabla operatoro $\nabla$
• Parta derivaĵo
• Plura integralo, kurba integralo, surfaca integralo
• Stokasta kalkulo
• Funkcionala kalkulo

Eksteraj ligiloj

• Plurvariabla kalkulo de Jeff Knisley
• Plurvariabla kalkulo de George Cain kaj James Herod