Ondolongo de Komptono

La Ondolongo de Komptono (aŭ ondolongo de Compton) estas kvantummekanika propreco de partiklo. Ĝi estis enkondukita de Arthur Compton en lia klarigo pri la disĵeto de fotonoj fare de elektronoj (procezo konata kiel efiko de Komptono ). La ondolongo de Komptono pri partiklo estas taksata egala al la ondolongo de fotono, kies energio estus la sama kiel la ripoza maso de la konsiderata partiklo.

La ondolongo de Komptono, $\lambda$ aŭ $\lambda _{C}$, de partiklo estas donata per:

$\lambda ={\frac {h}{mc}}\ ,$

kie h estas la konstanto de Planck, m estas la ripoza maso de la partiklo, kaj c estas la lumrapido.

Laŭ la Komitato pri datenoj por scienco kaj teknologio, la ondolongo de Komptono por elektrono estas taksita:

$\lambda _{e}=2,426\,310\,2389\cdot 10^{-12}\ \mathrm {m} \ .$.

Aliaj partikloj havas malsamajn ondolongoj de Komptono, ekzemple por protono kaj neŭtrono  :

${\begin{aligned}\lambda _{p}&=1{,}321\,409\,8562\,\cdot 10^{-15}\ \mathrm {m} \ ,\\\lambda _{n}&=1{,}319\,590\,9068\,\cdot 10^{-15}\ \mathrm {m} \ .\end{aligned}}\ .$

Reduktita ondolongo de Komptono

Kiam la ondolongo de Komptono estas dividita de ${2\pi }$, oni akiras pli malgrandan aŭ "reduktitan ondolongon de Komptono:

${\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}\ .$

La reduktita ondolongo de Komptono estas natura prezento por maso en la kvantuma skalo, kaj kiel tia, ĝi aperas en multaj el la fundamentaj ekvacioj de kvantuma mekaniko; ĝi aperas en la relativisma Klein-Gordon ekvacio pri libera partiklo (versio de la ekvacio de Schrödinger en laspeciala teorio de relativeco):

$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi \,.$

Ĝi aperas en la ekvacio de Dirako (la sekva estas eksplicite kunvarianca formo uzante la ejnŝtejna skribmaniero):

$-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0\,.$

La reduktita ondolongo de Komptono ankaŭ aperas en la ekvacio de Schrödinger mem, kvankam lia ĉeesto estas kaŝita per tradiciaj reprezentoj de la ekvacio. La jenaj estas la tradicia prezento de la ekvacio de Schrödinger pri elektrono en atomoj kun nur unu elektrono (kiel hidrogeno, He⁺, Li²⁺, ktp):

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi \,.$

Dividante per per $\hbar c$, kaj reverkante al en terminoj de la fajnstruktura konstanto , unu ricevas :

${\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi \ .$

Interrilato inter reduktita kaj ne-reduktita ondolongo de Komptono

La reduktita ondolongo de Komptono estas natura prezento de maso en la kvantuma skalo. Ekvacioj rilatantan al maso, kiel Klein-Gordon kaj Schrödinger, uzas la reduktitan ondolongon de Komptono. Sed la ne-reduktita ondolongo de Komptono estas natura prezento pri maso, kiu estis konvertita en energion. Ekvacioj, kiuj rilatas al la konvertiĝo de maso en energion, aŭ al la ondolongoj de fotonoj interagante kun maso, uzas la ne-reduktitan ondolongon de Komptono.

Partiklo de ripoza maso m havas ripozan energion de :$E=mc^{2}$. La ne-reduktita ondolongo de Komptono por ĉi tiu partiklo estas la ondolongo de fotono kun la sama energio. Por fotonoj de frekvenco f, ilia energio estas donita per:

$E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2}\ ,$

kiu kondutas al la difina formulo de la ne-reduktita ondolongo de Komptono.

Limo de mezurado

La reduktita ondolongo de Komptono povas esti elpensata kiel fundamenta limo pri mezurado pri pozicio de partiklo, konsiderante kvantuman mekanikon kaj specialan relativecon . Ĉi tio dependas de la maso m de la partiklo. Por vidi ĉi tion, notu, ke ni povas mezuri la pozicion de partiklo per dissaltanta lumo - sed mezuri la pozicion precize postulas lumo de mallonga ondolongo . Lumo kun mallonga ondolongo konsistas el fotonoj de alta energio. Se la energio de tiuj fotonoj superas mc² , kiam oni frapas la mezurotan partiklon la kolizio povas havi sufiĉan energion por krei novan partiklon de sama tipo. Ĉitio igas kontestebla la mezuron de la pozicio de la origina partiklo.

Ĉi tiu argumento ankaŭ montras, ke la reduktita ondolongo de Komptono estas la sojlo, sub kiu kvantuma kampa teorio - kiu povas priskribi kreadon kaj neniigon de partiklo - iĝas grava.

Ni povas fari la supran argumenton iom pli preciza kiel sekvas. Supozu, ke ni deziras precize mezuri la pozicion de partiklo kun eraro malgranda ol Δx, tiam la necerteca rilato pri pozicio kaj movokvanto diras, ke:

$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}\ ;$

tial la necerteco de movokvanto de la partklo skribiĝas

$\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}\ .$

Uzante la relativecan rilaton inter movokvanto kaj energio p = γm ₀v, kiam Δp superas mc, tiam la necerteco en energio estas pli granda ol mc², kiu estas sufiĉa energio por krei alian partiklon de la sama tipo. Sekvas, ke tie estas fundamenta limo pri Δx :

$\Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)\ .$

Tiel la necerteco en pozicio devas esti pli granda ol duono de la reduktita ondolongo de Komptono ħ / mc .

Eblas kompari la ondolongon de Komptono kun la ondolongo de Broglie, kiu dependas de la movokvanto de partiklo kaj determinas la limon inter la konsiderindaj aspektoj de partiklo kaj ondo en kvantuma mekaniko.

Rilato kun aliaj konstantoj

Tipaj atomaj longoj, ondonombroj, kaj laborkampoj en fiziko povas esti rilatantaj al la reduktita ondolongo de Komptono (${\bar {\lambda }}_{e}\equiv {\tfrac {\lambda _{e}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}$), kaj la elektromagneta fajnstruktura konstanto ($\alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}$) .

La radiuso de Bohr rilatas kun la ondolongo de Komptono de elektrono laŭ la formulo:

$a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{e}}{2\pi }}\right)\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{e}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}\ .$

La tielnomata klasika radiuso de elektrono (fakte ne la vera radiuso de elektrono) estas proksimume tri foje pli granda ol la radiuso de protono, kaj skribiĝas:

$r_{e}=\alpha \left({\frac {\lambda _{e}}{2\pi }}\right)\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{e}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}\ .$

Do, se oni multiplikas la radiuson de Bohr per la fajnstruktura konstanto $\alpha$, oni obtenas la reduktitan ondolongon de Komptono, kaj denove multiplikante tiun ĉilastan per $\alpha$, oni obtenas la klasikan radiuson de elektrono.

La konstanto de Rydberg skribiĝas:

$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}\ .$

Tipaj longoj kaj laborkampoj en gravita fiziko povas esti rilatanta al la ondolongo Komptono kaj la konstanto de gravita kuplado $\alpha _{G}$, kiu estas analoga, pri gravito konsiderante ĉitie la mason de elektrono anstataŭ ĝia ŝargo, al la fajnstruktura konstanto:

$\alpha _{G}={\frac {Gm_{e}^{2}}{\hbar c}}=G\left({\frac {2\pi }{\lambda _{e}}}\right){\frac {m_{e}}{c^{2}}}=\left({\frac {m_{e}}{m_{p}}}\right)^{2}\approx 1.7518\cdot 10^{-45}\ ,$

kie G estas la gravita konstanto, m_e kaj m_P estas respektive la maso de elektrono kaj la maso de Planck.

La maso de Planck estas speciala, ĉar la reduktita ondolongo de Komptono pri tiu maso egalas la duonon de la radiuso de Schwarzschild: ĉi tiu speciala distanco estas nomata longo de Planck ($l_{P}$). La radiuso de Schwarzschild estas proporcia al la maso, dum la ondolongo de Komptono estas proporcia al la inverso de la maso. La longo de Planck estas ankaŭ skribita:

$l_{P}=\lambda _{e}\,{\frac {\sqrt {\alpha _{G}}}{2\pi }}\ .$

Vidu ankaŭ

• Arthur Holly Compton
• Efiko de Komptono
• Unuoj de Planck

Eksteraj ligiloj

• Length Scales in Physics: Ondolongo de Komptono