Pakada problemo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Pakadaj problemoj estas speco de problemoj en matematiko.

En pakada problemo estas donitaj:

  • unu aŭ pli multaj (kutime du-dimensiaj aŭ tri-dimensiaj) konteneroj;
  • kelkaj 'varoj', iuj aŭ ĉiuj el kiuj devas esti pakitaj en ĉi tiujn kontenerojn.
La plej densa pakado de 7 cirkloj en kvadrato, tamen unu cirklo havas movan liberecon

Kutime la pakado devas esti sen breĉoj aŭ interkovroj, sed en iuj pakadaj problemoj la interkovroj (de varoj unu la alian aŭ kun la rando de la kontenero estas permesita sed devus esti farita kiel eblas pli malgranda. En la aliaj, breĉoj estas permesitaj, sed interkovroj estas ne permesitaj, kutime la tuteca areo de breĉoj devus esti farita kiel eblas pli malgranda.

Kutime la problemoj engaĝas trovadon de la maksimuma kvanto de certaj formoj kiuj povas esti pakitaj, aŭ trovadon de la minimuma amplekso de la kontenero.

Eĉ se iu pakado estas la plej densa ebla, iam okazas ke iu el la pakitaj eroj havas liberecon de movo en iu regiono.

Pakado de malfinia spaco[redakti | redakti fonton]

Multaj el ĉi tiuj problemoj, se la kontenera amplekso estas pligrandigita en ĉiuj direktoj, iĝas ekvivalento al la problemo de pakado de objektoj kiel eblas dense en malfinia eŭklida spaco. La keplera konjekto statis la optimalan solvaĵon por pakado de sferoj, poste ĝi estis pruvita de Hales.

Cirkloj en ebeno[redakti | redakti fonton]

Kvadrata pakado de cirkloj en ebeno
Seslatera pakado de cirkloj en ebeno, la plej densa ebla

Cirkloj (n-sferoj en aliaj dimensioj) ne povas esti pakitaj kun 100% uzo de spaco en dimensioj pli grandaj ol unu (en unu-dimensia spaco, cirklo nur konsistas el du punktoj). Tio estas, tie ĉiam estas neuzata spaco se oni pakas nur cirklojn. La plej kompetenta vojo de pakado cirkloj, seslatera pakado, havas relativan uzadon de la spaco \frac{\pi}{\sqrt{12}} \approx 0,9069. La kvadrata pakado estas malpli densa, kaj havas relativan uzadon de la spaco \frac{\pi}{4} \approx 0,7854

Sferoj en eŭklida pilko[redakti | redakti fonton]

La problemo de trovanta de la plej malgranda pilko tia ke k disaj malfermitaj unuoblaj pilkoj povas esti pakitaj en ĝin havas simplan kaj plenan respondo en n-dimensia eŭklida spaco se k≤n+1, kaj en malfinio-dimensia hilberta spaco sen limigoj. En ĉi tiu okazo, konfiguro de k poduope tanĝantaj unuoblaj pilkoj estas havebla. Estu la centroj je la verticoj a1, ..., ak de regula (k-1)-dimensia simplaĵo kun longo de latero egala al 2. La distanco de ĉiu vertico de la centro de la simplaĵo estas \sqrt{2\big(1-\frac{1}{k} \big)}. Ankaŭ, ĉiu la alia punkto de la spaco bezone havas pli grandan distancon de almenaŭ unu el la k verticoj. Tiel, la k malfermitaj unuoblaj pilkoj centritaj je a1, ..., ak estas inkluzivitaj en pilkon de radiuso  r_k=1+\sqrt{2\big(1-\frac{1}{k}\big)}, kiu estas minimuma por ĉi tiu konfiguro.

Sferoj en kvadro[redakti | redakti fonton]

Klasika problemo estas la sfera pakanta problemo, kiu estas trovado de kvanto de sferaj objektoj de donita diametro d kiuj povas esti pakitaj en kvadron de donita amplekso a×b×c.

Cirkloj[redakti | redakti fonton]

Estas multaj problemoj engaĝaj pakadon de cirkloj en apartan formon de la plej malgranda ebla amplekso. Noto ke ĉi tiuj problemoj estas matematike malsamaj de la ideoj en la cirkla pakanta teoremo.

Cirkloj en cirklo[redakti | redakti fonton]

Iu el la ne-bagatelaj cirklaj pakadaj problemoj estas pakado de unuoblaj cirkloj en la kiel eblas plej malgrandan cirklon.

Minimumaj solvaĵoj:

Kvanto de unuoblaj cirkloj Radiuso de la kontenera cirklo
1 1 Disk pack1.svg
2 2 Disk pack2.svg
3 ≈2,154 Disk pack3.svg
4 ≈2,414 Disk pack4.svg
5 ≈2,701 Disk pack5.svg
6 3 Disk pack6.svg
7 3 Disk pack7.svg
8 ≈3,304 Disk pack8.svg
9 ≈3,613 Disk pack9.svg
10 ≈3,813 Disk pack10.svg
11 ≈3,923 Disk pack11.svg
12 ≈4,029 Disk pack12.svg
13 ≈4,236 Disk pack13.svg
14 ≈4,328 Disk pack14.svg
15 ≈4,521 Disk pack15.svg
16 ≈4,615 Disk pack16.svg
17 ≈4,792 Disk pack17.svg
18 ≈4,863 Disk pack18.svg
19 ≈4,863 Disk pack19.svg
20 ≈5,122 Disk pack20.svg

Cirkloj en kvadrato[redakti | redakti fonton]

Paki n unuoblajn cirklojn en la kiel eblas plej malgrandan kvadraton. Ĉi tio estas proksime rilatanta al disvastigo de punktoj en unuobla kvadrato kun trovado de la plej granda minimuma apartigo dn inter la punktoj. Por konverti inter ĉi tiuj du formulaĵoj de la problemo, la kvadrata latero L por n unuoblaj cirkloj estas L=2+2/dn.

Aktualaj plej bonaj solvaĵoj:

Kvanto de unuoblaj cirkloj n Latero de la kontenera kvadrato L Minimuma apartigo dn
en unuobla kvadrato
1 2
2 ≈3,414 ≈1,414 * Circles packed in square 2.svg
3 ≈3,931 ≈1,035 * Circles packed in square 3.svg
4 4 1 * Circles packed in square 4.svg
5 ≈4,828 ≈0,707 * Circles packed in square 5.svg
6 ≈5,328 ≈0,601 * Circles packed in square 6.svg
7 ≈5,732 ≈0,536 * Circles packed in square 7.svg
8 ≈5,863 ≈0,518 * Circles packed in square 8.svg
9 6 0,5 * Circles packed in square 9.svg
10 ≈6,747 ≈0,421 Circles packed in square 10.svg
11 ≈7,022 ≈0,398 Circles packed in square 11.svg
12 ≈7,144 ≈0,389 Circles packed in square 12.svg
13 ≈7,463 ≈0,366 Circles packed in square 13.svg
14 ≈7,796 ≈0,345 * Circles packed in square 14.svg
15 ≈7,932 ≈0,337 Circles packed in square 15.svg
16 8 ≈0,333 * Circles packed in square 16.svg
17 ≈8,532 ≈0,306 Circles packed in square 17.svg
18 ≈8,656 ≈0,300 Circles packed in square 18.svg
19 ≈8,907 ≈0,290 Circles packed in square 19.svg
20 ≈8,978 ≈0,287 Circles packed in square 20.svg

* indikas ke la solvaĵo estas sciata al esti optimala.

Cirkloj en izocela orta triangulo[redakti | redakti fonton]

Paki n unuoblajn cirklojn en la kiel eblas plej malgrandan izocelan ortan triangulon - ortan triangulon kun anguloj 45°, 45°, 90°.

Kvanto de unuoblaj cirkloj n Krura latero de la kontenera triangulo
1 ≈3,414
2 ≈4,828
3 ≈5,414
4 ≈6,242
5 ≈7,146
6 ≈7,414 6 cirkloj en 45 45 90 triangulo.png
7 ≈8,181
8 ≈8,692
9 ≈9,071
10 ≈9,414
11 ≈10,059
12 ≈10,422
13 ≈10,798
14 ≈11,141
15 ≈11,414

Cirkloj en egallatera triangulo[redakti | redakti fonton]

Paki n unuoblajn cirklojn en la kiel eblas plej malgrandan egallateran triangulon.

Minimumaj solvaĵoj:

Kvanto de unuoblaj cirkloj n Latero de la kontenera triangulo
1 ≈3,464
2 ≈5,464
3 ≈5,464
4 ≈6,928 4 cirkloj en 60 60 60 triangulo.png
5 ≈7,464 5 cirkloj en 60 60 60 triangulo v1.png 5 cirkloj en 60 60 60 triangulo v2.png
6 ≈7,464
7 ≈8,928
8 ≈9,293
9 ≈9,464
10 ≈9,464
11 ≈10,730
12 ≈10,928
13 ≈11,406
14 ≈11,464
15 ≈11,464

Cirkloj en regula seslatero[redakti | redakti fonton]

Paki n unuoblajn cirklojn en la kiel eblas plej malgrandan regula seslateron.

Kvanto de unuoblaj cirkloj n Latero de la kontenera seslatero
1 ≈1,154
2 ≈2,154
3 ≈2,309
4 ≈2,666
5 ≈2,999
6 ≈3,154
7 ≈3,154
8 ≈3,709
9 ≈4,011
10 ≈4,119
11 ≈4,309
12 ≈4,309
13 ≈4,618
14 ≈4,666
15 ≈4,961

Kvadratoj[redakti | redakti fonton]

Kvadratoj en kvadrato[redakti | redakti fonton]

Problemo estas la kvadrata pakada problemo, kie oni devas difini kiun kvanton da kvadratoj de latero 1 oni povas paki en kvadraton de latero a. Evidente, se a estas entjero, la respondo estas a2, sed la preciza, aŭ eĉ asimptota, kvanto de malŝparata spaco por ne-entjera a estas ne sciata.

Pruvitaj minimumaj solvaĵoj:

Kvanto de kvadratoj Latero de la kontenera kvadrato
1 1
2 2
3 2
4 2
5 2+2-1/2≈2,707 5 kvadratoj en kvadrato.svg
6 3
7 3 7 kvadratoj en kvadrato.svg
8 3
9 3
10 3+2-1/2≈3,707 10 kvadratoj en kvadrato.svg

Aliaj rezultoj:

  • Se eblas paki n2-2 kvadratoj en kvadraton de latero a, tiam a≥n.
  • La naiva maniero (latero al latero) malŝparas spacon malpli ol 2a+1.
  • La malŝparata spaco estas asimptote o(a7/11).
  • La malŝparata spaco ne estas asimptote o(a1/2).
  • 11 unuoblaj kvadratoj ne povas esti pakitaj en kvadraton de latero malpli granda ol 2+2\sqrt{4/5}.

Kvadratoj en cirklo[redakti | redakti fonton]

Paki n kvadratojn en la kiel eblas plej malgrandan cirklon.

Minimumaj solvaĵoj:

Kvanto de kvadratoj Radiuso de la kontenera cirklo
1 2-1/2 ≈0,707
2 ≈1,118
3 ≈1,288
4 ≈1,414
5 ≈1,581 5 kvadratoj en cirklo.png
6 ≈1,688 6 kvadratoj en cirklo.png
7 ≈1,802
8 ≈1,978
9 ≈2,077
10 ≈2,121
11 ≈2,215
12 ≈2,236

Kahelaroj[redakti | redakti fonton]

En kahelaroj, devas esti nek breĉoj, nek interkovroj.

Ortanguloj en ortangulo[redakti | redakti fonton]

Estas gravaj teoremoj pri kahelado de ortanguloj (kaj kubsimilaĵoj) en ortanguloj (kubsimilaĵoj) sen breĉoj aŭ interkovroj:

  • Teoremo de Klarner: a×b ortangulo povas esti pakita kun 1 × n ortangulo se kaj nur se n estas divizoro de an estas divizoro de b.
  • Teoremo de de Bruijn: Skatolo povas esti pakita kun harmonaj brikoj a×ab×abc se la skatolo havas dimensioj ap×abq×abcr por iuj naturaj nombroj p, q, r, kio estas ke la skatolo estas entjera oblo de la briko je ĉiu dimensio.

Plurkvadratetoj[redakti | redakti fonton]

Variantoj de ortanguloj el ĉiuj kvin-kvadratetaj pecoj

La studo de kahelaroj plurkvadratetoj grande koncernas du klasojn de problemoj: kaheli ortangulon kun kongruaj kaheloj, kaj al paki po unu el ĉiu n-kvadrateto en ortangulon.

Klasika enigmo de la dua speco estas al aranĝi ĉiujn 12 malsamajn 5-kvadratetojn en ortangulojn 3×20, 4×15, 5×12 kaj 6×10.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]