Polinomo de Lagrange

En cifereca analitiko, polinomo de Lagrange, nomita pro Joseph-Louis de Lagrange, estas la interpola polinomo por donita aro da datumaj punktoj en la formo de Lagrange. Ĝi estis unue esplorita de Edward Waring en 1779, kaj poste reesplorita de Leonhard Euler en 1783 antaŭ, ke Lagrange eldonis ĝin en 1795.

Pro tio, ke estas nur unu interpola polinomo por donita aro da datumaj punktoj, estas iom iluzie voki la polinomon kiel interpola polinomo de Lagrange. La pli preciza nomo estas interpola polinomo en la formo de Lagrange.

Difino

Ĉi tiu bildo montras, por 4 hazardaj punktoj ((-9, 5), (-4, 2), (-1, -2), (7, 9)), la kuban interpolan polinomon L(x), kiu estas la sumo de la skalitaj bazaj polinomoj y₀l₀(x), y₁l₁(x), y₂l₂(x) kaj y₃l₃(x). La interpolaj polinomaj pasas tra ĉiuj 4 apogaj punktoj, kaj ĉiu skalita baza polinomo pasas tra ĝia respektiva apoga punkto kaj estas 0 kiam x respektivas al la aliaj tri apogaj punktoj.

Por donita aro da k+1 datumaj punktoj

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$ ,

kie neniuj du x_j estas la samaj, la interpola polinomo en formo de Lagrange estas lineara kombinaĵo de bazaj polinomoj de Lagrange

$L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}l_{j}(x)$

kun la bazaj polinomoj difinita kiel

$l_{j}(x):=\prod _{m=0,j\neq m}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{j}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{j-1}}{x_{j}-x_{j-1}}}{\frac {x-x_{j+1}}{x_{j}-x_{j+1}}}\cdots {\frac {x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}}$ .

Pruvo

La serĉata funkcio al esti polinoma funkcio L(x) de grado k kun

$L(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\ldots ,k$ .

Laŭ la teoremo de Stone-Weierstrass ĉi tia funkcio ekzistas kaj estas unika. La polinomo de Lagrange estas la solvaĵo al la interpola problemo.

Kiel povas esti facile vidite

• $l_{j}(x)$ estas polinomo kaj havas grado k
• $l_{j}(x_{i})=\delta _{ij},0\leq i,j\leq k$ .

Tial la funkcio L(x) estas polinomo kun grado k kaj

$L(x_{i})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}l_{j}(x_{i})=y_{i}$ ,

pro tio L(x) estas la serĉata unika interpola polinomo.

Ĉefa ideo

Solvado de interpola problemo kondukas al problemo en lineara algebro, kiun oni devas solvi per matrica algebro. Per uzo de norma unuterma bazo por la interpola polinomo, oni prenas la tre komplikan matricon de Vandermonde. Per elekto de la alia bazo, la bazo de Lagrange, oni prenas la multe pli simplan identan matricon, kio fakte signifas, ke uzo de la matrica algebro tute ne bezonatas.

Uzado

Ekzemplo

La tangenta funkcio kaj ĝia interpola polinomo

Oni deziru interpoli $f(x)=\tan {x}$ je la punktoj

$x_{0}=-1.5$	$f(x_{0})=-14.1014$
$x_{1}=-0.75$	$f(x_{1})=-0.931596$
$x_{2}=0$	$f(x_{2})=0$
$x_{3}=0.75$	$f(x_{3})=0.931596$
$x_{4}=1.5$	$f(x_{4})=14.1014$

La bazaj polinomoj estas:

$l_{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}={1 \over 243}x(2x-3)(4x-3)(4x+3)$

$l_{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$l_{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1}}\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}={1 \over 243}(243-540x^{2}+192x^{4})$

$l_{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x+3)$

$l_{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}={1 \over 243}x(2x+3)(4x-3)(4x+3)$ .

Tial la interpolanta polinomo tiam estas

${1 \over 243}(f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$+f(x_{2})(243-540x^{2}+192x^{4})-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+3)+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3))\!$

$=-1.47748x+4.83456x^{3}\!$ .

Notoj

La formo de Lagrange de la interpola polinomo montras la linearecon de polinoma interpolo kaj la unikeco de la interpola polinomo. Pro tio, ĝi estas preferata en pruvoj kaj teoriaj rezonadoj. Sed, kiel povas vidiĝi de la konstruado, ĉiufoje se iu vertico x_k ŝanĝiĝas, ĉiuj polinomoj de la bazo de Lagrange devas esti rekalkulitaj. Pli bona formo de la interpola polinomo por praktikaj aŭ komputaj celoj estas la neŭtona polinomo. Uzo de nestitaj multiplikoj (skemo de Horner) gvidas al la sama ideo.

Interpola polinomo je egale spacitaj punktoj, kiel en la ekzemplo pli supre, estas oscilanta pli supre kaj pli sube de la vera funkcio. Ĉi tiu oscilado estas malpliigita per elektanto de la interpolaj punktoj je verticoj de Ĉebiŝev.

La polinomoj de bazo de Lagrange estas uzataj en cifereca integralado por dedukti la formulojn de Neŭtono-Cotes.

Vidu ankaŭ

• Baza funkcio
• Polinoma interpolo
• Neŭtona polinomo - neŭtona formo de la interpola polinomo
• Polinomo de Bernstein - formo de Bernstein de la interpola polinomo