Pozicia nombrosistemo

Pozicia nombrosistemo estas maniero prezenti nombrojn, en kiu la valoro de cifero dependas de ĝia pozicio en la numeralo (ekz-e en la normala dekuma nombrosistemo: la cifero 2 en la nombro 2015 prezentas la valoron 2000 ĉar ĝi estas tri poziciojn maldekstre de la lasta).

En la moderna mondo, kaj ankaŭ en Esperantujo, la dekuma pozicia nombrosistemo estas la plej kutima kaj grava el la uzataj nombrosistemoj.

Nomoj de nombrosistemoj laŭ la bazo

Por ricevi la nomon de pozicia nombrosistemo en Esperanto oni aldonu al la numeralo, esprimanta ĝian bazon, la sufikson -um-: dekuma (10-uma), deksesuma (16-uma), sesdekuma (60-uma), duuma (2-uma), okuma (8-uma) nombrosistemoj. Tiun uzon de la sufikso -um- donas jam la Matematika Terminaro kaj Krestomatio de Raoul Bricard (1905).

Sinonimo de "dekuma" estas "decimala".

La principo

La n-uma pozicia nombrosistemo (kie n estas natura nombro, n≥2) uzas n ciferojn (skribsignojn), al kiuj estas atribuita po unu cifera valoro, natura nombro el la intervalo 0, ..., n–1. La nombron n oni nomas la bazon de la nombrosistemo.

La nombroprezentoj (numeraloj) de naturaj nombroj estas kutime skribataj de maldekstre dekstren. Al ĉiu ciferpozicio respondas ĝia pezo, potenco de la bazo n. La plej dekstra pozicio havas la pozician numeron 0 kaj la pezon n⁰ = 1. Ĉiu sekvanta pozicio en la direkto maldekstren havas pozician numeron je 1 pli grandan ol la antaŭa, kaj pezon egalan al la pezo de la antaŭa pozicio oble la nombrosistema bazo. La valoro de tia prezento de natura nombro estas la sumo de ties ciferoj, prenitaj kun ilia pezo (t.e. cifero oble la pezo).

Ekz-e, se la nombrosistema bazo n = 10, tiam temas pri la dekuma nombrosistemo (nia komuna nombrosistemo). La tradiciaj ciferoj estas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (dek ciferoj). Tiam (ekz-e) la numeralo 46532 signifas

$4\times 10^{4}+6\times 10^{3}+5\times 10^{2}+3\times 10^{1}+2\times 10^{0}=46532$

Frakcioj

Por esprimi ne-entjerajn nombrojn, oni daŭrigas la cifervicon dekstren, post apartiga interpunkcia signo, la decimala komo aŭ on-komo. La postkomaj ciferoj ("decimaloj") havas pezojn n^-1, n^-2, ktp. Ekzemple

$3,14=3\times 10^{0}+1\times 10^{-1}+4\times 10^{-2}$

Ne-dekumaj sistemoj

La nombrosistema bazo povas esti alia natura nombro ol dek. Ekzemple grava en komputiloj estas sistemo kun nur du ciferoj 0 kaj 1, kiuj ambaŭ korespondas je unu elektra stato: la kurento okazas (1) aŭ ne okazas (0). Tiu estas la duuma sistemo, kun bazo 2. En tiu bazo, la pozicioj de la onkomo maldekstren havas la pezojn 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, ktp. Ekzemple la numeralo 1101 signifas

$1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+1\times 2^{0}=13$

Dekstren de la onkomo (duuma komo), la postkomaj ciferoj havas pezojn 2^-1 = dekume 0,5; 2^-2 = dekume 0,25; ktp. Tiel duume 10,101 = dekume 2,625.

Alia nombrosistemo uzata en komputiko estas la deksesuma kun bazo 16. En tiu bazo, la pozicioj de la onkomo maldekstren havas la pezojn 16⁰ = 1, 16¹ = 16, 16² = 256, 16³ = 4096, ktp. Tie, oni bezonas dek ses ciferojn. Ĉar simboloj ne ekzistas por la ciferoj 10, 11, 12, 13, 14 kaj 15, oni uzas la literojn kiel ciferoj, tiel: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. La dek ses deksesumaj ciferoj estas do : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Ekzemple la numeralo 15C (kodo de majuskla Ŝ en Unikodo) signifas

$1\times 16^{2}+5\times 16^{1}+12\times 16^{0}=256+80+12=348$

La kialo de la komputika uzo de tiu bazo estas ke kun nur unu deksesuma cifero, oni detalas kvar duumajn ciferojn.

Ankaŭ la okuma sistemo, kun bazo 8, estas uzata en komputiko.

Jen eta komparo:

duuma	okuma	dekuma	deksesuma
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	15	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F
10000	20	16	10
10001	21	17	11
10010	22	18	12
10011	23	19	13
10100	24	20	14

Vidu ankaŭ

• Fibonacci
• Hind–araba nombrosistemo