Propagilo

En kvantummekaniko, propagilo estas funkcio aŭ distribucio priskribanta la amplitudon de probablon por partiklo movi el pozicio al alia pozicio. Teknike, ĝi estas la funkcio de Green de la ekvacio de movo.

Difino

Nerelativeca partiklo

La propagilo $K(x,t;x',t')$ estas funkcio aŭ distribucio veriganta la jenan ekvacion:

$\left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')$.

Tie ĉi, $H$ estas la hamiltoniano kaj $\delta$ estas la diraka distribucio.

Ekzemple, konsideru liberan nerelativecan partiklon. La propagilo do verigas:

$\left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')$.

Pro solvi ĝin, konvertu en movokvanto- kaj frekvencospacon:

$(\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m)K(\mathbf {p} ,\omega )=1$.

Sekvas ke

$K(\mathbf {p} ,\omega )={\frac {1}{\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}$.

Konvertu reen en pozicio- kaj tempospacon:

$K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t')))K(\mathbf {p} ,\omega )$.

La integralo estas ambigua, ĉar la integralato havas poluson ĉe

$\omega =\hbar p^{2}/2m$.

Oni devas malambiguigi la integralon per aldoni infinitezimon, sed du eblaj signoj ekzistas. (Tial la propagilo ne estas unika.) Aldonu infinitezimon kaj ni povas kalkuli:

$K_{\pm }(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')$

$=\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t'))){\frac {1}{\hbar \omega \pm \mathrm {i} \epsilon -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}$

$=\mp {\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\theta (\pm t\mp t')\left({\frac {m}{2\pi \mathrm {i} \hbar (t-t')}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {\mathrm {i} m}{2\hbar (t-t')}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')^{2}\right)$,

kie

$\theta (x)={\begin{cases}1&{\text{se }}x>0\\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}$

signifas la hevisidan funkcion. La funkcio $K_{+}$ nomiĝas la estinta (angle retarded) propagilo, ĉar $K_{+}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')$ estas nenula nur se $t>t'$. Dume la funkcio $K_{-}$ nomiĝas la estonta (angle advanced) propagilo, ĉar $K_{-}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')$ estas nenula nur se $t<t'$.

Relativeca partiklo

Ni uzas signokonvencion $+---$ por la metriko, k.e., $x\cdot y=x^{0}y^{0}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$.

Relativeca skalara partiklo verigas la ekvacion de Klein-Gordon. Tial la propagilo $K(x,y)$ de relativeca skalara partiklo difiniĝas kiel la funkcio de Green de la ekvacio de Klein-Gordon. Jen:

$(\partial ^{2}+m^{2})K(x,y)=-\delta (x-y)$.

Pro solvi ĝin, konvertu en movokvantospacon:

$(p^{2}-m^{2})K(p)=1$.

Do

$K(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}$.

Konvertu reen en poziciospacon:

$K(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}$.

La integralo estas ambigua, ĉar la integralato havas du polusojn ĉe

$p^{0}=\pm (\mathbf {p} ^{2}+m^{2})$.

Oni devas malambiguigi la integralon per aldoni infinitezimon. Laŭ teorio de kurba integralo, ni povas iri aŭ supren aŭ malsupren trans ĉiu poluso. Tial ekzistas kvar malsama metodoj malambiguigi la integralon; la propagilo ne estas unika. Si ni iras supren trans ambaŭ polusoj, la estinta (angle retarded) propagilo troviĝos:

$K_{\mathrm {R} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}+\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}$

$={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}>y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}},\end{cases}}$

kie $\operatorname {J} _{1}$ signifas la funkcion de Bessel de la unua speco kaj $s=(x-y)^{2}$. Si ni iras malsupren trans ambaŭ polusoj, la estonta (angle advanced) propagilo troviĝos:

$K_{\mathrm {A} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}-\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}$

$={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}<y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}}.\end{cases}}$

Si ni iras malsupren trans la maldekstra poluso (ĉe $p^{0}=-{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}$ kaj supren trans la dekstra poluso (ĉe $p^{0}=+{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}$), la propagilo de Feynman troviĝos:

$K_{\mathrm {F} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}$

$={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\-\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}$

kie $\operatorname {H} _{1}^{(1)}$ signifas la funkcion de Hankel de la unua speco kaj $\operatorname {K} _{1}$ signifas la modifitan funkcion de Bessel de la dua speco. Si ni iras supren trans la maldekstra poluso kaj malsupren trans la dekstra poluso, la propagilo de Dyson troviĝos:

$K_{\mathrm {D} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}-\mathrm {i} \epsilon }}$

$={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(2)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}$

kie $\operatorname {H} _{1}^{(2)}$ signifas la funkcion de Hankel de la dua speco.

La kvar propagiloj verigas la jenajn ekvaciojn.

$K_{\mathrm {R} }+K_{\mathrm {A} }=K_{\mathrm {F} }+K_{\mathrm {D} }$

$K_{\mathrm {R} }(x-y)=K_{\mathrm {A} }(y-x)$

$K_{\mathrm {F} }(x-y)=K_{\mathrm {F} }(y-x)=K_{\mathrm {D} }(x-y)^{*}$

$K_{\mathrm {D} }(x-y)=K_{\mathrm {D} }(y-x)=K_{\mathrm {F} }(x-y)^{*}$.

Ankaŭe, la propagiloj esprimiĝas kun vakuaj atendataj valoroj de kampoperatoroj:

$K_{\mathrm {R} }(x-y)=-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle$

$K_{\mathrm {A} }(x-y)=\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle$

$K_{\mathrm {F} }(x-y)=-\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle =-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle -\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle$

$K_{\mathrm {D} }(x-y)=\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}^{\dagger }|0\rangle =\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle +\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle$.

Partiklo kun spino

Por diraka partiklo $\psi$ (k.e., dirakspinora kampo) sekvanta la dirakan ekvacion

$(\gamma \cdot \partial +m)\psi =0$,

oni difinas la propagilon simile:

$(\gamma \cdot \partial +m)K(x-y)=\delta (x-y)$.

En movokvantospaco:

$K_{\mathrm {F} }(p)={\frac {1}{\gamma \cdot p-m+\mathrm {i} \epsilon }}={\frac {\gamma \cdot p+m}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}$

por la propagilo de Feynman, ktp.

Por nulmasa vektora partiklo $A$ (ekz, la fotono), ekzistas pluraj eblaj gaŭĝoj. Simpla gaŭĝo estas la gaŭĝo de Lorenz $\partial \cdot A=0$. Do la partiklo sekvas la ekvaciojn de Maxwell kun gaŭĝfiksanta termo:

$\partial ^{2}A_{\mu }=0$.

Oni difinas la propagilon simile:

$\partial ^{2}K_{\mu \nu }(x-y)=\delta (x-y)$.

En movokvantospaco, la propagilo (de Feynman, ktp.) estas:

$K_{\mathrm {F} \mu \nu }(p)={\frac {-g_{\mu \nu }}{p^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}$.

Referencoj

• Bjorken, J.D., Drell, S.D., Relativistic Quantum Fields (Appendix C.), Novjorko: McGraw-Hill 1965, ISBN 0-07-005494-0.
• N. N. Bogoliubov, D. V. Shirkov, Introduction to the theory of quantized fields, Wiley-Interscience, ISBN 0470086130 (pp. 136 – 156)
• DeWitt, Cécile, DeWitt, Bryce, redaktoroj, Relativity, Groups and Topology, Glasgow: Blackie and Son Ltd. ISBN 0444868585 (pp. 615 – 624)
• Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles, Novjorko: John Wiley & Sons, 1987. ISBN 0-471-60386-4
• Halliwell, J.J., Orwitz, M. Sum-over-histories origin of the composition laws of relativistic quantum mechanics and quantum cosmology, arXiv:gr-qc/9211004
• Kerson Huang, Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals. Novjorko: J. Wiley & Sons, 1998. ISBN 0-471-14120-8
• Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard Quantum Field Theory, Novjorko: McGraw-Hill, 1980. ISBN 0-07-032071-3
• Pokorski, Stefan, Gauge Field Theories, Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN 0-521-36846-4
• Schulman, Larry S., Techniques and Applications of Path Integration, Novjorko: Jonh Wiley & Sons, 1981. ISBN 0471764507
• Griffith, D, Introduction to Quantum Mechanics.