Rimana integralo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Salti al navigilo Salti al serĉilo

Rimana integralo, aŭ integralo de Riemann estas eble la plej uzata integralo en matematiko. Ĝi sufiĉas por kontinuaj funkcioj, kaj funkcioj kun ne tro da punktoj de nekontinueco. Se oni bezonas pli fortan integralon, oni uzas Lebegan integralon. La integralo estis difinita de Bernhard Riemann.

Difino[redakti | redakti fonton]

En la plej simpla versio, rimana integralo estas difina integralo de funkcio sur intervalo . Unue oni difinas sumon de Riemann. Poste oni dividas la intervalon, kreinte malgrandajn intervalojn, . La -a intervalo , havas longon . Poste oni ankaŭ elektas punkton en ĉiu intervalo. La sumo de Riemann estas

Tiam la rimana integralo estas difinita kiel
La limeso uzata ne estas la normala limeso, ĉar oni ne havas vicon de valoroj. Pli precize oni diras ke estas integralebla (en la senco de Riemann) sur , kaj la integralo estas la nombro , se la sekvonto veras. Por ĉiu ekzistas , kaj por tiu ĉiu divido kun for ĉiu implicas

Tiu difino eble ne estas tiel simpla, sed por kontinuaj funkcioj, oni povas uzi pli simplan difinon. Dividi la intervalon egale. Tio signifas ke la longeco de ĉiu intervaleto estas la sama: . Ankaŭ . Oni ankaŭ povas elekti la nombron , , aŭ eble . Eble se oni uzus la dekstran flankon de ĉiu intervaleto, tiam

Neintegraleblaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Ne ĉiu funkcio estas integralebla en la senco de Riemann. Ekzemple, prenu la funkcion sur kie se estas neracionala nombro, kaj se estas racionala nombro. Ĉi tiu funcio oni ne povas integrali per la rimana integralo, sed se oni uzas lebegan integralon, la integralo estas 0.

Rimana integralo en -dimensia spaco[redakti | redakti fonton]

La integralo ankaŭ povas esti difinita por -dimensia spaco. La difino estas preskaŭ la sama, sed oni devas uzi -dimensiajn rektangulojn anstataŭ intervaletojn.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]