Hiperbola funkcio

En matematiko, la hiperbolaj funkcioj estas certaj funkcioj de unu variablo, iel analogaj al la ordinaraj trigonometriaj funkcioj.

Iliaj retroĵetoj estas la inversaj hiperbolaj funkcioj.

La bazaj hiperbolaj funkcioj estas la hiperbola sinuso kaj hiperbola kosinuso, difinitaj per eksponenta funkcio. La aliaj hiperbolaj funkcioj estas difinitaj per ili du, simile al tio kiel per sinuso kaj kosinuso estas difinitaj la aliaj trigonometriaj funkcioj

La hiperbolaj funkcioj preni reelajn valorojn por reelaj argumentoj. La argumento estas iam nomata kiel la hiperbola angulo. En kompleksa analitiko, ili estas simple racionalaj funkcioj de eksponentaj funkcioj, kaj do estas meromorfaj funkcioj.

La grafikaĵo de hiperbola kosinuso estas la kateno, la kurbo formata per fleksebla ĉeno de egala longa denseco, fiksita je siaj finoj kaj pendanta libere sub gravito.

Difinoj

La hiperbolaj funkcioj estas:

Nomo	Skribmaniero	Difino
Hiperbola sinuso	sinh x aŭ sh x	${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\!$
Hiperbola kosinuso	cosh x aŭ ch x	${\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\!$
Hiperbola tangento	tanh x aŭ th x	${\frac {\sinh x}{\cosh x}}\!$
Hiperbola kotangento	coth x aŭ cth x	${\frac {\cosh x}{\sinh x}}\!$
Hiperbola sekanto	sech x	${\frac {1}{\cosh x}}\!$
Hiperbola kosekanto	csch	${\frac {1}{\sinh x}}\!$

sinh, cosh, tanh

csch, sech, coth

Proprecoj

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!$

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!$

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!$

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!$

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!$

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!$

$(\cosh t)^{2}-(\sinh t)^{2}=1\!$

$(\tanh x)^{2}=1-(\operatorname {sech} x)^{2}\!$

$(\coth x)^{2}=1+(\operatorname {csch} x)^{2}\!$

kie i estas la imaginara unuo.

sinh(-x) = -sinh x

cosh(-x) = cosh x

De ĉi tie:

tanh(-x) = -tanh x

coth(-x) = -coth x

sech(-x) = sech x

csch(-x) = -csch x

cosh x kaj sech x estas paraj funkcioj, la aliaj el la ses estas neparaj funkcioj.

Identoj por sumo de argumentoj:

$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,$

$\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,$

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,$

por duoblaj argumentoj:

$\sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,$

$\cosh 2x\ =(\cosh x)^{2}+(\sinh x)^{2}=2(\cosh x)^{2}-1=2(\sinh x)^{2}+1\,$

por duonaj argumentoj:

$\left(\cosh {\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {\cosh x+1}{2}}$

$\left(\sinh {\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {\cosh x-1}{2}}$

Derivaĵoj

${\frac {d\sinh(x)}{dx}}=\cosh(x)\,$

${\frac {d\cosh(x)}{dx}}=\sinh(x)\,$

${\frac {d\tanh(x)}{dx}}=1-(\tanh(x))^{2}=(\operatorname {sech} (x))^{2}=1/(\cosh(x))^{2}\,$

${\frac {d\coth(x)}{dx}}=1-(\coth(x))^{2}=-(\operatorname {csch} (x))^{2}=-1/(\sinh(x))^{2}\,$

${\frac {d\operatorname {csch(x)} }{dx}}=-\coth(x)\operatorname {csch(x)} \,$

${\frac {d\operatorname {sech(x)} }{dx}}=-\tanh(x)\operatorname {sech(x)} \,$

Malderivaĵoj

$\int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C$

$\int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C$

$\int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\cosh ax)+C$

$\int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\sinh ax)+C$

En la pli supre donitaj esprimoj, C estas la konstanto de integralado.

Serioj

Serioj de Taylor:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

$\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

Hiperbola kotangento kaj hiperbola kosekanto havas poluson en punkto 0, tiel iliaj seriaj elvolvaĵoj estas serioj de Laurent:

$\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (serio de Laurent)

$\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$

En la formuloj pli supre

B_n estas la n-a nombro de Bernoulli,

E_n estas la n-a eŭlera nombro.

Hiperbolaj funkcioj por kompleksaj nombroj

Pro tio ke la eksponenta funkcio estas difinita por ĉiu kompleksa argumento, la difinoj de la hiperbolaj funkcioj uzeblas ankaŭ por kompleksaj argumentoj. La funkcioj sinh z kaj cosh z estas tiam holomorfaj; iliaj serioj de Taylor konverĝas ĉie.

Interrilatoj al trigonometriaj funkcioj estas donitaj per eŭlera formulo, vera por ĉiu kompleksa x:

e^ix = cos x + i sin x

el ĉi tiu formulo sekvas la sekva formulo

e^−ix = cos x - i sin x

kaj tiel

$\cosh ix={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x$

$\sinh ix={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x$

tanh ix = i tan x

cosh x = cos ix

sinh x = -i sin ix

tanh x = -i tan ix

La hiperbolaj funkcioj estas perioda kun kompleksa periodo 2πi (πi por hiperbola tangento kaj hiperbola kotangento).

De la difinoj de hiperbolaj sinuso kaj kosinuso, eblas derivi jenajn identojn:

e^x = cosh x + sinh x

kaj

e^−x = cosh x - sinh x

Ĉi tiuj esprimoj estas analogoj al la eŭlera formulo.

sinh z	tanh z	sech z
cosh z	coth z	csch z

Simileco al trigonometriaj funkcioj

Radio tra la origino tranĉas la hiperbolon x²-y² = 1 en la punkto (cosh A, sinh A), kie A estas la areo inter la radio kaj ĝia spegula bildo kun respekto al la x-akso, kaj la hiperbolo

Punkto sur la hiperbolo x y = 1 kun x > 1 difinas hiperbolan triangulon en kiu la flanko najbara al la hiperbola angulo estas asociita kun cosh kaj la flanko kontraŭa estas asociita kun sinh. Pro tio ke la punkto (1, 1) sur ĉi tiu hiperbolo estas je distanco √2 de la punkto (0, 0), la normaliga konstanto 1/√2 estas necesa al difini funkciojn cosh kaj sinh per longoj de la flankoj de la hiperbola triangulo.

Simile al tio ke kiel la aro de punktoj (cos t, sin t) estas cirklo, la aro de punktoj (cosh t, sinh t) estas la dekstra duono de la egallatera hiperbolo x²-y² = 1.

La parametro t estas ne cirkla angulo, sed hiperbola angulo kiu estas duobligita areo inter la x-akso, la hiperbolo kaj la rekto tra punktoj (0, 0) kaj (cosh t, sinh t). Traktado de la parametro kiel duobligita areo fakte taŭgas ankaŭ por la trigonometriaj funkcioj; se konsideri punkton (cos t, sin t) sur cirklo do la argumento t estas duobligita areo de la cirkla sektoro inter la x-akso, la cirklo kaj la rekto tra punktoj (0, 0) kaj (cos t, sin t).

La hiperbolaj funkcioj kontentigas multajn identojn, similajn en formo al tiuj por la trigonometriaj funkcioj. Fakte, regulo de Osborn statas ke eblas konverti ĉiun trigonometrian identon en hiperbolan identon per elvolvanta ĝin plene en termojn de entjeraj potencoj de sinusoj kaj kosinusoj, ŝanĝo de sin al sinh kaj cos al cosh, kaj ŝanĝo de la signo de ĉiu termo kiu enhavas produton de kvanto 2, 6, 10, 14, ... da sinh-oj, kalkulante kun la potencoj. La derivado povas esti farita per trairo al trigonometriaj fukcioj kiel estas donite pli supre. Oni fari anstataŭigon en la fonta trigonometria idento kiel cosh ix_j = cos x_j kaj sinh ix_j = i sin x_j por ĉiu variablo x_j; ĉi tiu aldona multiplikata imaginara unuo i ĉe sinuso, se en potenco 2, 6, 10, 14, ..., donas la ŝanĝon de signo. Poste necesas ŝanĝi la variablojn w_j = ix_j kaj la hiperbola idento rezultiĝas.

Ĉi tiel eblas ricevi donitajn pli supre identojn por sumo de argumentoj, por duoblaj argumentoj kaj por duonaj argumentoj

La funkcio de Gudermannian donas interrilaton inter la trigonometriaj kaj la hiperbolaj funkcioj ne engaĝante kompleksajn nombrojn.

Vidu ankaŭ

• Hiperbolo
• Inversa hiperbola funkcio
• Trigonometria funkcio
• Inversa trigonometria funkcio
• Eksponenta funkcio
• Eŭlera formulo
• Funkcio de Gudermannian
• Kateno

Eksteraj ligiloj

• Mnemoniko por hiperbolaj formuloj. G. Osborn, La Matematika Gazeto, p. 189, volumo 2, eldono 34, julio 1902 (la regulo de Osborn)
• Hiperbolaj funkcioj Arkivigite je 2012-02-18 per la retarkivo Wayback Machine je PlanetMath
• Hiperbolaj funkcioj je MathWorld
• Hiperbola tandento je MathWorld
• GonioLab Arkivigite je 2007-10-06 per la retarkivo Wayback Machine: Videbligo de la unuobla cirklo, trigonometriaj kaj hiperbolaj funkcioj
• TTT-kalkulilo de hiperbolaj funkcioj