Sigma-alĝebro

En matematiko sigma-alĝebro (aŭ σ-alĝebro) super aro estas familio de ties subaroj, kiu estas fermita je komplementoj kaj kalkuleblaj komunaĵoj kaj kunaĵoj.

Sigma-alĝebroj estas uzataj precipe por difini mezurojn kaj tial estas gravaj en probablo-teorio kaj analitiko.

Difino

$X$ estu aro. Familio de subaroj de $X$

$\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$

nomiĝas sigma-alĝebro, se kaj nur se por ĝi validas ĉi-subaj aksiomoj:

• Por ajna kalkulebla kolekto da elementoj $(S_{i})_{i\in I}$ de $\Sigma$, ankaŭ ilia kunaĵo estas elemento de $\Sigma$:

  $\bigcup _{i\in I}S_{i}\in \Sigma$.

  • Speciale, por $I=\varnothing$, tio implicas, ke $\varnothing \in \Sigma$.
• Por ajna elemento $S\in \Sigma$, ankaŭ ĝia komplemento estas elemento de $\Sigma$: $X\setminus S\in \Sigma$.

Ekzemploj

Pri ajna aro $X$, la ĉi-suba sigma-alĝebro, la maldiskreta sigma-alĝebro, estas la plej malgranda sigma-alĝebro super ĝi:

$\Sigma _{\text{maldisk}}=\{\varnothing ,X\}$.

Pri ajna aro $X$, la ĉi-suba sigma-alĝebro, la diskreta sigma-alĝebro, estas la plej granda sigma-alĝebro super ĝi:

$\Sigma _{\text{disk}}={\mathcal {P}}(X)$.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Sigma-algebra en MathWorld.