Sigma-alĝebro

En matematiko sigma-alĝebro (aŭ σ-alĝebro) super aro estas familio de subaroj, kiuj estas fermita je komplementoj kaj kalkuleblaj komunaĵoj kaj kunigaĵoj. Sigma-alĝebroj estas ĉefe uzataj por difini mezurojn, kaj tial estas gravaj en teorio de probabloj kaj analitiko.

Difino

Supozu la aron $X$. Familio de subaroj de $X$

$\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$

estas sigma-alĝebro se kaj nur se ĝi plenumas la ĉi-subajn aksiomojn:

• Pri ajna kalkulebla kolekto de elementoj $(S_{i})_{i\in I}$ de $\Sigma$, ilia kunigaĵo estas ankaŭ elemento de $\Sigma$:

  $\bigcup _{i\in I}S_{i}\in \Sigma$.

  • Specife, se $I=\varnothing$, do $\varnothing \in \Sigma$.
• Pri ajna elemento $S\in \Sigma$, do ĝia komplemento estas ankaŭ elemento: $X\setminus S\in \Sigma$.

Ekzemploj

Pri ajna aro $X$, la ĉi-suba sigma-alĝebro, la maldiskreta sigma-alĝebro, estas la plej malgranda sigma-alĝebro super ĝi:

$\Sigma _{\text{maldisk}}=\{\varnothing ,X\}$.

Pri ajna aro $X$, la ĉi-suba sigma-alĝebro, la diskreta sigma-alĝebro, estas la plej granda sigma-alĝebro super ĝi:

$\Sigma _{\text{disk}}={\mathcal {P}}(X)$.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Sigma-algebra en MathWorld.