Simetria matrico

En lineara algebro, simetria matrico estas kvadrata matrico, A kiu estas egala al sia transpono:

A=A^T

La elementoj de simetria matrico estas simetriaj kun respekto al la ĉefdiagonalo . Tiel se la elementoj estas A=(a_ij), do a_ij=a_ji por ĉiuj eblaj valoroj de i kaj j.

Jen estas ekzemplo de 3×3 simetria matrico:

{\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}.

Matrico estas kontraŭsimetria matrico (aŭ deklivo-simetria aŭ malsimetria) se ĝia transpono estas la sama kiel ĝia negativo. Jen estas ekzemplo de 3×3 kontraŭsimetria matrico:

{\begin{bmatrix}0&-3&4\\3&0&-5\\-4&5&0\end{bmatrix}}.

Ĉiu diagonala matrico estas simetria pro tio ke ĉiuj kromdiagonalaj elementoj estas nulaj. Simile, ĉiu diagonala ero de kontraŭsimetria matrico devas esti nulo pro tio ke ĝi egalas al sia negativo.

Simetria matrico prezentas hermitan operatoron super reela ena produta spaco. La respektiva objekto por kompleksa ena produta spaco estas memadjunkta matrico kun komplekso-valoraj elementoj, kiu estas egala al sia konjugita transpono. Reela simetria matrico estas la specifa okazo de memadjunkta matrico. Pro ĉi ĉio, ofte estas ĝenerale alprenite ke simetria matrico havas reelo-valorajn elementojn.

Simetriaj matricoj aperi nature en diversaj de aplikoj, kaj ofte cifereca lineara algebra programaro havas specialajn datumaranĝojn por ili. Simetria n×n matrico estas difinita per n(n+1)/2 skalaroj. Kontraŭsimetria n×n matrico estas difinita per n(n-1)/2 skalaroj.

Propraĵoj

La finidimensia spektra teoremo diras ke por ĉiu simetria reela matrico A ekzistas reela orta matrico Q tia ke D=Q^TAQ estas diagonala matrico.

La spektra teoremo ankaŭ diras ke ajgenvektoroj de reela simetria matrico estas perpendikularaj. Pli detale, matrico estas simetria se kaj nur se ĝi havas ortnormalan bazon de ajgenvektoroj.

Ĉiu reela simetria matrico estas memadjunkta matrico, kaj pro tio ĉiuj ĝiaj ajgenoj estas reelaj. Fakte, la ajgenoj estas la elementoj en la diagonala matrico D, kaj pro tio D estas unike difinita per A supren ĝis la ordo de ĝiaj elementoj.

Ĉiu kvadrata matrico X povas esti skribita en unika vojo kiel sumo de simetria kaj kontraŭsimetria matrico:

X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textrm {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textrm {T}}\right).

La sumo kaj diferenco de du simetriaj matricoj estas denove simetria, sed ĉi tio estas ne ĉiam vera por la produto: por donitaj simetriaj matricoj A kaj B, AB estas simetria se kaj nur se A kaj B komutiĝas, kio estas, se AB = BA. Du reelaj simetriaj matricoj komutiĝi se kaj nur se ili havas la samajn ajgenspacojn. Tiel Aⁿ estas simetria se A estas simetria matrico kaj n estas pozitiva entjero.

La inverso de inversigebla simetria matrico estas simetria matrico.

Ĉiu matrico kongrua al simetria matrico estas denove simetria: se X estas simetria matrico do AXA^T estas simetria por ĉiu matrico A.

Uzanta la jordanan normalan formon, eblas pruvi ke ĉiu kvadrata reela matrico povas esti skribita kiel produto de du reelaj simetriaj matricoj, kaj ĉiu kvadrata kompleksa matrico povas esti skribita kiel produto de du kompleksaj simetriaj matricoj.

Ĉiu reela ne-degenera matrico povas esti unike faktorita kiel produto de orta matrico kaj simetria pozitive difinita matrico, kio estas la polusa malkomponaĵo. Ankaŭ singulara matrico povas esti faktorigita, sed ne unike.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

greke Disdivido de matrico en simetrian kaj deklivo-simetrian