Grupo de Poincaré

En fiziko kaj matematiko, la grupo de Poincaré aŭ nehomogena lorenca grupo estas la grupo de Lie de izometrioj de spactempo de Minkowski. Ĝi estas 10-dimensia ne-komuta (ne-abela), ne-kompakta, ne-simpla grupo de Lie. La komuta grupo de movoj estas normala subgrupo kaj la lorenca grupo estas subgrupo, la stabiligilo de punkto.

Laŭ la programo de Erlangen, la geometrio de spaco de Minkowski estas difinita per la grupo de Poincaré: spaco de Minkowski estas konsiderata kiel homogena spaco por la grupo.

Difino

La grupo de Poincaré estas la afina grupo de la lorenca grupo, la duonrekta produto de la movoj kaj la lorencaj transformoj:

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes O(1,3)$

Alia maniero de konsidero estas ke la grupo de Poincaré estas centra vastigaĵo de la lorenca grupo per vektora prezento de ĝi.

Ĝiaj pozitivaj energiaj unuargumentaj neredukteblaj prezentoj estas indeksitaj per maso (nenegativa nombro) kaj spino (entjero aŭ duono de entjero), kaj estas asociitaj kun partikloj en kvantummekaniko.

Alĝebro de Lie

La alĝebro de Poincaré estas la alĝebro de Lie de la grupo de Poincaré. En komponanta formo la algebro de Poincaré estas donita per la rilatoj:

• $[P_{\mu },P_{\nu }]=0$
• ${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }$
• ${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }$

kie P estas la generilo de movoj, M estas la generilo de lorencaj transformoj kaj η estas la metriko de Minkowski (vidu en signa konvencio).

Kvalitoj

La grupo estas 10-dimensia, ĉar tie estas 6 generiloj $M_{\mu \nu }$ de la lorenca grupo kaj 4 generiloj de movoj.

Same kiel lorenca grupo, grupo de Poincaré havas 4 koneksajn komponantojn, diferenciĝantajn je determinanto det(Λ) kaj signumo de Λ₀⁰. La plej grava estas komponanto kun det(Λ)=1 kaj Λ₀⁰>0, enhavanta la identa eron, kiu respektivas al la identa transformo de la spaco.

La grupo de Poincaré donas ĉiujn transformojn inter inerciaj referencaj kadroj en speciala relativeco.

La grupo de Poincaré estas la plena geometria simetria grupo de ĉiu relativisma kampa teorio. Tiel, ĉiuj elementaj partikloj trafas kiel prezentoj de ĉi tiu grupo. Ĉi tiuj estas kutime precizigataj per la kvar-momanto de ĉiu partiklo (kio estas ĝia maso) kaj la aprioraj kvantumaj nombroj J^PC, kie J estas la spina kvantuma nombro, P estas la pareco kaj C estas la ŝarga konjuga kvantuma nombro. Multaj kvantumaj kampaj teorioj atencas parecon kaj ŝargan konjugon. En ĉi tiuj okazoj, oni forigas la P kaj la C. Pro tio ke CPT estas invarianto de ĉiu kvantuma kampa teorio, kvantuma nombro de reverso de tempo povas facile esti konstruita el ĉi tiuj donitaj.

Grupo de Poincaré koincidas kun grupo de ĉiuj reelaj transformoj de kvar-vektoroj $x=x^{\mu }=\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\}$ de formo

$x'^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu }$

kie Λ estas transformo el lorenca grupo;

$a^{\nu }$ estas kvar-vektoro de movo.

Ero de grupo de Poincaré estas skribata kiel {a, Λ}, kaj komponaĵo de eroj estas

$\{a_{1},\Lambda _{1}\}\{a_{2},\Lambda _{2}\}=\{a_{1}+\Lambda _{1}a_{2},\Lambda _{1}\Lambda _{2}\}$

La transformo el lorenca grupo respektiva al rapido laŭ la x-akso estas donita per

${\begin{cases}t'={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\\x'={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}\left(x-v_{x}t\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}}$

kie c estas la lumrapideco.

En vektora formo, la kvar-vektoro estas

$x^{\mu }={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

kaj en vektoro-matrica formo la transformo estas

$x'^{\mu }=\Lambda _{v_{x}}{}_{\nu }^{\mu }x^{\nu }$

$\quad {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}&-{\frac {v}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}&0&0\\-{\frac {v_{x}}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

La transformo el lorenca grupo respektiva al turnado ĉirkaŭ la x-akso estas donita per

$\quad {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

Apliko al Fiziko

La simetrio de Poincaré estas la plena simetrio de speciala teorio de relativeco kaj inkluzivas

• movojn (delokigojn) en tempo kaj spaco (ĉi tiuj formas la komutan grupon de Lie de movoj sur spaco-tempo);
• turnadojn en spaco (ĉi tiu formas la ne-komutan grupon de Lie de 3-dimensiaj turnadoj);
• pligrandigojn, kiuj estas transformoj ligantaj du uniforme moviĝantajn korpojn.

La lastaj du simetrioj kune konsistigas la lorencan grupon. Ĉi tiuj estas generiloj de la grupo de Poincaré, kiu estas duonrekta produto de la grupo de movoj kaj la lorenca grupo.

Aĵoj kiu estas invariantoj sub ĉi tiu grupo estas la invariantoj de Poincaré aŭ relativismaj invariantoj. Inter ili estas fizikaj leĝoj:

• Leĝoj de kinematiko,
• Ekvacioj de Maxwell de elektromagnetismo,
• Diraka ekvacio en teorio de elektrono.

Ĉiu transformo el grupo de Poincaré konservas la lorencan invarianton inter ĉiuj du punktoj A kaj B en speco-tempo:

$(ct_{A}'-ct_{B}')^{2}-(x_{A}'-x_{B}')^{2}-(y_{A}'-y_{B}')^{2}-(z_{A}'-z_{B}')^{2}=(ct_{A}-ct_{B})^{2}-(x_{A}-x_{B})^{2}-(y_{A}-y_{B})^{2}-(z_{A}-z_{B})^{2}$

Historio

La grupo estis enkondukita de Henri Poincaré en 1905 kaj estas nomita post li.

Vidu ankaŭ

• Eŭklida grupo
• Lorenca grupo
• Lorenca transformo
• Klasifiko de Wigner

Eksteraj ligiloj

• Allen Hatcher (2002). Algebraic topology - Algebra topolgio. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.