Normo (matematiko)

Ŝablono:Polurinda movu En lineara algebro, funkcionala analitiko kaj rilatantaj areoj de matematiko, normo estas funkcio kiu asignas pozitivan longo aŭ amplekso al ĉiu vektoroj en vektora spaco, escepte la nula vektoro. Duonnormo estas simila funkcio, al kiu permesita al asigni nula longo al iu ne-nulo (vektoroj, vektoras).

Simpla ekzemplo estas la 2-dimensia eŭklida ebeno R² kun la eŭklida normo. Eroj en ĉi tiu vektora spaco (e.g., (3,7) ) estas kutime desegnita kiel sagoj en 2-dimensia karteziaj koordinatoj startanta je la fonto (0,0). La eŭklida normo asignas al ĉiu vektoro la longon de ĝia sago.

Vektora spaco kun normo estas normigita vektora spaco. Simile, vektora spaco kun duonnormo estas duonnormita vektora spaco.

Difino

Por donita vektora spaco V super subkorpo F de la kompleksaj nombroj kiel la kompleksaj nombroj mem aŭ la reela nombroj, duonnormo sur V estas funkcio p:V→R; x→ p(x) kun jenaj propraĵoj:

Por ĉiuj a en F kaj ĉiuj u kaj v en V,

1. p(v) ≥ 0 (pozitiveco)
2. p(a v) = |a| p(v), (pozitiva homogeneco aŭ pozitiva skaligeco)
3. p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (triangula neegalaĵo aŭ subadicieco).

Normo estas duonnormo kun la aldona propraĵo

p(v) = 0 se kaj nur se v estas la nula vektoro (pozitiva difiniteco)

Topologia vektora spaco estas normebla (duonnormebla) se la topologio de la spaco povas esti konkludita per normo (duonnormo).

Notoj

Duonnormoj estas ofte skribataj kiel p(v) (funkcia skribmaniero), normoj estas tradicie skribataj kiel ||v|| (kiel varianto de skribmaniero de la absoluta valoro).

Utila konsekvenco de la normaj aksiomoj estas la neegalaĵo

||u ± v|| ≥ | ||u|| − ||v|| |

por ĉiuj u kaj v ∈ K.

Ekzemploj

• La bagatela duonnormo, p(x) = 0 por ĉiuj x en V.
• La absoluta valoro estas normo sur la reelaj nombroj.
• Ĉiu lineara formo f sur vektora spaco difinas duonnormon per x→|f(x)|.

Eŭklida normo

Sur Rⁿ, la intuicia nocio de longo de la vektoro x = [x₁, x₂, ..., x_n] estas

$\|\mathbf {x} \|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

Ĉi tiu donas la ordinaran distancon de la fonto al x, konsekvenco de la pitagora teoremo. La eŭklida normo estas la plej kutime uzita normo sur Rⁿ, sed estas la aliaj normoj sur ĉi tiu vektora spaco kiuj estas montritaj pli sube.

Sur Cⁿ la plej komuna normo estas

$\|\mathbf {z} \|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}.$, ekvivalento de la eŭklida normo sur R²ⁿ.

En ĉiu okazo oni povas ankaŭ esprimi la normon kiel la kvadrata radiko de la ena produto de la vektoro al si. La eŭklida normo estas ankaŭ nomata kiel la l².

Taksia normo aŭ Manhatana normo

Ĉefa artikola Taksia geometrio

$\|x\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.$

La nomo rilatas al la distanco kiun taksio havas por traveturi rektangulan stratan kradon.

p-normo

Estu p≥1 reela nombro.

$\|x\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

Noto ke por p=1 ĝi estas la taksia normo kaj por p=2 ĝi estas la eŭklida normo.

Malfinia normo aŭ maksimuma normo

$\|x\|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).$

Nula normo

En la maŝina lerno kaj optimumigo, ofte estas uzata la nula normo. La nula normo de x estas difinita kiel $\lim _{p\rightarrow 0}\|x\|_{p}^{p},$ kie $\|x\|_{p}$ estas la p-normo difinita pli supre. Se difini $0^{0}\equiv 0$ tiam oni povas skribi la nulan normon kiel $\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{0}$. La nula normo de x estas simple la kvanto de nenulaj eroj de x. Malgraŭ ĝia nomo, la nula normo ne stas vera normo; aparte, ĝi estas ne pozitive homogena.

Aliaj normoj

Alia normoj sur Rⁿ povas esti konstruitaj per kombinigo de tiuk la pli supre menciitaj; ekzemple

$\|x\|:=2|x_{1}|+{\sqrt {3|x_{2}|^{2}+\max(|x_{3}|,2|x_{4}|)^{2}}}$

estas normo sur R⁴.

Por ĉiu normo kaj ĉiu bijekcia lineara transformo A oni povas difini nova normo de x, egalan al $\|Ax\|$. En 2D, kun A - turnado per 45° kaj taŭga skaligo, ĉi tiu ŝanĝas la taksian normon en la maksimuman normon. En 2D, ĉiu A aplikita al la taksia normo, krom al inversigo kaj interŝanĝanta de aksoj, donas malsaman unuoblan pilkon: paralelogramo de aparta formo, amplekso kaj orientiĝo. En 3D ĉi tiu estas simila sed malsama por la 1-normo (okedro) kaj la maksimuma normo (prismo kun paralelograma bazo).

Ĉiu pli supre donitaj formuloj ankaŭ donas normojn sur Cⁿ sen ŝanĝo.

Okazo de malfiniaj dimensioj

La ĝeneraligo de la normoj pli supre donitaj al malfinia kvanto de komponantoj kondukas al la Lp spacoj kun normoj

$\|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ _resp_. $\|f\|_{p,X}=\left(\int _{X}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}$

(por komplekso-valoraj vicoj x _resp_. funkcioj f difinis sur $X\subset \mathbb {R}$), kiu povas esti plui ĝeneraligita (vidi Mezuro de Haar).

Ĉiu ena produto konkludas en natura vojo al normo $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$

Alia ekzemploj de malfiniaj dimensiaj normigitaj vektoraj spacoj povas troviĝi en la banaĥa spaco.

Propraĵoj

Unuoblaj cirkloj en malsamaj normoj

La koncepto de unuobla cirklo (la aro de ĉiuj (vektoroj, vektoras) de normo 1) estas malsama en malsama (normoj, normas): por la 1-normo la unuobla cirklo en R² estas romboido, por la 2-normo (Eŭklida normo) ĝi estas la konata unuobla cirklo, dum por la malfinia norma ĝi estas kvadrato. Vidi la akompananta ilustraĵo.

En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la vektora spaco, la duonnormo difinas topologio sur la spaco, kaj ĉi tiu estas Hausdorff-a topologio precize kiam la duonnormo povas (distingi, diferencigi) inter klara (vektoroj, vektoras), kiu estas denove ekvivalento al la duonnormo estante normo.

Du (normoj, normas) ||·||₁ kaj ||·||₂ sur vektora spaco V estas (nomita, vokis) ekvivalento se tie ekzisti pozitivaj reelaj nombroj C kaj D tia (tiu, ke, kiu)

$C\|x\|_{1}\leq \|x\|_{2}\leq D\|x\|_{1}$

por ĉiuj x en V. Sur finia dimensia vektora spaco ĉiuj (normoj, normas) estas ekvivalento.

Ekvivalento (normoj, normas) difini la sama (komprenaĵoj, nocioj, nocias) de kontunueco kaj konverĝo kaj ne (bezoni, bezono, necesa) al esti (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) por plej (celoj, celas). Al esti pli preciza la uniforma strukturo difinis per ekvivalento (normoj, normas) sur la vektora spaco estas unuforme izomorfia.

Ĉiu (duone)-normo estas sublineara funkcio, kiu (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) ĉiu normo estas konveksa funkcio. Kiel rezulto, trovanta malloka optimumo de normo-bazita (empiria, objektiva) funkcio estas ofte akordiĝema.

Donita finia familio de (duonnormoj, duonnormas) p_mi sur vektora spaco la (sumo, sumi)

$p(x):=\sum _{i=0}^{n}p_{i}(x)$

estas denove duonnormo.

Absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj

(Duonnormoj, Duonnormas) estas proksime rilatanta al absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj. Estu p esti duonnormo sur vektora spaco V, tiam por (ĉiu, iu) skalaro α la aroj {x : p(x) < α} kaj {x : p(x) ≤ α} estas (absorbanta, kaperanta, sorbanta) kaj absolute konveksa. En normigita vektora spaco la aro {x : p(x) ≤ 1} estas (nomita, vokis) unuobla pilko.

Male al ĉiu (absorbanta, kaperanta, sorbanta) kaj absolute konveksa subaro A de V korespondas duonnormo p (nomita, vokis) la kalibro de A, difinis kiel

p(x) := _inf_{α : α > 0, x ∈ α A}

kun la propraĵo (tiu, ke, kiu)

{x : p(x) < 1} ⊆ A ⊆ {x : p(x) ≤ 1}.

Loke konveksa topologia vektora spaco havas loka bazo konsistanta de absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj. Komuna maniero al konstrui tia bazo estas al uzi _familiy_ de (duonnormoj, duonnormas). Tipe ĉi tiu familio estas malfinio, kaj estas sufiĉa (duonnormoj, duonnormas) al (distingi, diferencigi) inter eroj de la vektora spaco, kreanta (Hausdorff-a spaco, Spaco de Hausdorff).

Vidu ankaŭ jenon:

• ena (produkto, produto), vektora multipliko kiu konkludas normo
• rilato de (normoj, normas) kaj (metrikoj, metrikas) - traduka invarianto kaj homogena metriko povas kutimi difini normo
• normigita vektora spaco