Matrico de Hesse: Malsamoj inter versioj

[nekontrolita versio]

← Iru al antaŭa ŝanĝo Iru al sekvanta ŝanĝo →

Enhavo forigita Enhavo aldonita

Enteksta

Kiel registrite je 19:49, 7 jun. 2008

Ŝablono:Polurinda movu En matematiko, la matrico de Hessian estas kvadrata matrico de duaj partaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio. Por reelo-valora funkcio

f(x₁, x₂, ..., x_n),

se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de f ekzistas, la matrico de Hessian de f estas matrico

H(f)_ij(x) = D_i D_j f(x)

kie x = (x₁, x₂, ..., x_n). Tio estas,

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}

Miksitaj derivaĵoj kaj simetrio de la matrico

La miksitaj derivaĵoj de f estas la elementoj ne sur la ĉefa diagonalo en la matrico. Ofte, la ordo de diferencialado ne gravas. Ekzemple:

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)

Ĉi tio povas ankaŭ esti skribita kiel:

\partial _{xy}f=\partial _{yx}f

Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de f estas kontinuaj en regiono D, do la matrico de Hessian de f estas simetria matrico en D. (Vidu en simetrio de duaj derivaĵoj.)

Kritikaj punktoj kaj diskriminanto

Se la gradiento de f (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto x, tiam f havas kritikan punkton je x. La determinanto de la matrico de Hessian je x estas tiam nomata kiel la diskriminanto. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam x estas degenera kritika punkto de f. Alie ĝi estas ne degenera.

Dua derivaĵa provo

Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera kritika punkto x. Se la matrico de Hessian estas pozitive dofinita matrico je x, tiam f atingas lokan minimumon je x. Se la matrico de Hessian estas negative definita je x, tiam f atingas lokan maksimumon je x. Se la matrico de Hessian havas ambaŭ pozitivan kaj negativan ajgenojnn tiam x estas sela punkto por f (ĉi tio estas vera eĉ se x estas degenera). Alie la provo ne doestas _inconclusive_.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) por pozitiva duondifina kaj negativa duondifina _Hessians_ la provo estas _inconclusive_. Tamen, pli povas esti dirita de la punkto de vido de Morsa teorio.

En vido de kio havas (justa, ĵus) estas dirita, la dua derivaĵa provo por funkcioj de unu kaj du (variabloj, variablas) estas simpla. En unu (variablo, varianta), la Hessian-a enhavas nur unu (sekundo, dua) derivaĵo; se ĝi's pozitiva tiam x estas loka minimumo, se ĝi's negativa tiam x estas loka maksimumo; se ĝi's nulo tiam la provo estas _inconclusive_. En du (variabloj, variablas), la diskriminanto povas esti uzita, ĉar la determinanto estas la (produkto, produto) de la (ajgenoj, ajgenas). Se ĝi estas pozitiva tiam la (ajgenoj, ajgenas) estas ambaŭ pozitiva, aŭ ambaŭ negativa. Se ĝi estas negativa tiam la du (ajgenoj, ajgenas) havi malsamaj signoj. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo estas _inconclusive_.

Vektoro-valoraj funkcioj

Se f estas anstataŭe vektoro-valora, kio estas

f=(f₁, ..., f_n),

tiam la tabelo de (sekundo, dua) partaj derivaĵoj estas ne matrico, sed tensoro de rango 3.

@@ Linio 4: / Linio 4: @@
 :''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>),
-se ĉiuj parta duaj derivaĵoj de ''f'' ekzistas, la '''matrico de Hessian''' de ''f'' estas matrico
+se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de ''f'' ekzistas, la '''matrico de Hessian''' de ''f'' estas matrico
 :H(''f'')<sub>''ij''</sub>(''x'') = ''D''<sub>''i''</sub> ''D''<sub>''j''</sub> ''f''(''x'')
@@ Linio 17: / Linio 17: @@
 \end{bmatrix}</math>
-==(Miksita, Miksis) derivaĵoj kaj simetrio de la Hessian-a==
+== Miksitaj derivaĵoj kaj simetrio de la matrico ==
-La '''(miksita, miksis) derivaĵoj''' de ''f'' estas la elementoj ''for'' la [[ĉefa diagonalo]] en la Hessian-a. Ofte, la (mendi, ordo) de diferencialado ne (materio, afero). Ekzemple,
+La '''miksitaj derivaĵoj''' de ''f'' estas la elementoj ne sur la [[ĉefa diagonalo]] en la matrico. Ofte, la ordo de diferencialado ne gravas. Ekzemple:
 :<math>\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
  \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)</math>
-Ĉi tiu povas ankaŭ esti skribita kiel:
+Ĉi tio povas ankaŭ esti skribita kiel:
 :<math>\partial_{xy} f = \partial_{yx} f</math>
-En formala (propozicio, frazo, ordono): se la (sekundo, dua) derivaĵoj de ''f'' estas ĉiuj [[Kontinua funkcio|kontinua]] en regiono ''D'', tiam la Hessian-a de ''f'' estas [[simetria matrico]] (rekte tra, entute) ''D''; vidi [[simetrio de duaj derivaĵoj]].
+Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de ''f'' estas [[kontinua funkcio|kontinuaj]] en regiono ''D'', do la matrico de Hessian de ''f'' estas [[simetria matrico]] en ''D''. (Vidu en [[simetrio de duaj derivaĵoj]].)
-==Kritikaj punktoj kaj diskriminanto==
+== Kritikaj punktoj kaj diskriminanto ==
-Se la [[gradiento]] de ''f'' (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro (senso, senco)) estas nulo je iu punkto ''x'', tiam ''f'' havas ''[[kritika punkto]]'' je ''x''. La [[determinanto]] de la Hessian-a je ''x'' estas tiam (nomita, vokis) la [[diskriminanto]]. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam ''x'' estas (nomita, vokis) ''degeneri kritika punkto'' de ''f''. Alie ĝi estas ne degeneri.
+Se la [[gradiento]] de ''f'' (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto ''x'', tiam ''f'' havas ''[[kritika punkto|kritikan punkton]]'' je ''x''. La [[determinanto]] de la matrico de Hessian je ''x'' estas tiam nomata kiel la [[diskriminanto]]. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam ''x'' estas ''[[degenera kritika punkto]]'' de ''f''. Alie ĝi estas ne degenera.
-==Dua derivaĵa provo==
+== Dua derivaĵa provo ==
-Jena provo povas esti aplikita je ne-degeneri kritika punkto ''x''. Se la Hessian-a estas [[Pozitiv-definitiva matrico|pozitiva definitiva]] je x, tiam ''f'' atingas loka minimumo je ''x''. Se la Hessian-a estas negativa definitiva je x, tiam ''f'' atingas loka maksimumo je ''x''. Se la Hessian-a havas ambaŭ pozitiva kaj negativa [[Ajgeno|(ajgenoj, ajgenas)]] tiam ''x'' estas (selo, seli) punkto por ''f'' (ĉi tiu estas vera eĉ se ''x'' estas degeneri). Alie la provo estas _inconclusive_.
+Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera kritika punkto ''x''. Se la matrico de Hessian estas [[pozitive dofinita matrico]] je ''x'', tiam ''f'' atingas lokan [[minimumo]]n je ''x''. Se la matrico de Hessian estas negative definita je ''x'', tiam ''f'' atingas lokan [[maksimumo]]n je ''x''. Se la matrico de Hessian havas ambaŭ pozitivan kaj negativan [[ajgeno]]jnn tiam ''x'' estas [[sela punkto]] por ''f'' (ĉi tio estas vera eĉ se ''x'' estas degenera). Alie la provo ne doestas _inconclusive_.
 (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) por pozitiva duondifina kaj negativa duondifina _Hessians_ la provo estas _inconclusive_. Tamen, pli povas esti dirita de la punkto de vido de [[Morsa teorio]].