Matematika modelo

Rimarko: La termino modelo havas malsama signifo en modela teorio (vd. Projekto matematiko), branĉo de matematika logiko.

[Redakta rimarko: anglalingva fonto (20 March 2006) <---> maŝina tradukaĵo 9. Apr 2006]

Matematika modelo estas abstrakta modelo, kiu uzas matematikan lingvon por priskribi la konduton de sistemo. Ĝi estas tradukado de efektiveco ĝis konceptaro por povi apliki ilojn, teknikojn kaj matematikajn teoriojn. Poste, ĝenerale, kontraŭsence, matematikaj resultoj akiritaj de predikadoj aŭ operacioj estas tradukataj al efektiva mondo. Matematikaj modeloj estas uzitaj aparte en la natursciencaj kaj inĝenieradaj disciplinoj (kiel fiziko, biologio, kemio, elektra inĝenierado), sed ankaŭ en la socia scienco (kiel ekonomiko, sociologio, politika scienco).

Ekzemploj de matematikaj modeloj

• Kresko de loĝantaro. Simpla (kvankam aproksima) modelo de loĝantara kresko estas la kreska modelo de Malthusian. La preferata loĝantara kreska modelo estas la logistika funkcio.
• Modelo de partiklo en potenciala kampo. En ĉi tiu modelo ni konsideru partiklon kiel punkton de maso m, kiu priskribas trajektorion, kiu estas modelita per funkcio x: R → R³ donanta ĝian koordinatojn en spaco kiel funkcion de la tempo. La potenciala kampo estas donita per funkcio V:R³ → R kaj la trajektorio estas solvaĵo de la diferenciala ekvacio

$m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x(t)=-\operatorname {grad} V(x(t)).$

Notu, ke ĉi tiu modelo alprenas la partiklon masa punkto, kiu estas certe sciata esti malvera en multaj okazoj. Oni ekzemple ne ĉiam povas uzi tiun ĉi modelon, por priskribi planedan moviĝon.

• Modelo de racionala konduto por konsumanto. En ĉi tiu modelo oni alprenas ke konsumanton havas elekton de n varoj markitaj per 1,2,...,n, ĉiu kun merkata prezo p₁, p₂,..., p_n. La konsumanto estas alprenita al havi kardinalo utileca funkcio U (kardinalo en la senco ke ĝi asignas ciferecajn valorojn al utilecoj), dependanta sur la kvantoj de varoj x₁, x₂,..., x_n konsumis. La modelo plui alprenas (tiu, ke, kiu) la konsumanto havas (buĝeto, budĝeto*) M, kiu ŝi uzas al aĉeti vektoro x₁, x₂,..., x_n en tia vojo rilate maksimumigi U(x₁, x₂,..., x_n). La problemo de racionala konduto en ĉi tiu modelo tiam iĝas unu de limigita maksimumigo, tio estas maksimumigi

$U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

kun rezervo pri

$\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=M.$

Ĉi tiu modelo havas (*) estas uzita en modeloj (modelas*) de ĝenerala egalpeza teorio, aparte al montri ekzisto kaj _Pareto_ _optimality_ de ekonomia _equilibria_. Tamen, la fakto (tiu, ke, kiu) ĉi tiu aparta formulaĵo asignas cifereca (valoroj, valoras) nivelas de (kompensaĵo, kompenso) estas la fonto de kritiko kaj eĉ primokoj. Tamen, ĝi estas ne esenca ingredienco de la teorio kaj denove ĉi tiu estas _idealization_.

• Najbaro-(Sensanta, Sencanta) modelo eksplikas la funga formacio de la (komence, fonte) (anarkia, anarĥia, kaosa, ĥaosa) _fungal_ reto.

Antaŭskribado

Ofte kiam inĝenieroj analizas sistemon inspektendan aŭ optimumigendan, ili uzas matematikan modelon. En analitiko, inĝenieroj povas konstrui priskriban modelon de la sistemo kiel hipotezo de la labormaniero de la sistemo, aŭ provi juĝi kiel _unforeseeable_ (neprognostika?) evento povas afekti la sistemon. Simile, pri kontrolo de sistemo, inĝenieroj povas provi malsamajn manierojn de kontroloj per simuladoj.

Matematika modelo kutime priskribas sistemon per aro de variabloj kaj aro de ekvacioj kiu fondas interrilatojn inter la variabloj. La valoroj de la variabloj povas esti praktike ion ajn : reelaj aŭ entjeraj nombroj, bulea valoroj, aŭ ĉenoj, ekzemple. La variabloj prezentas kelkajn propraĵojn de la sistemo, ekzemple, mezuritajn eligojn de la sistemo ofte en la formo de signaloj, tempantaj datumoj, nombriloj, eventa apero (jes/ne). La reala modelo estas la aro de funkcioj kiu priskribas la rilatojn inter la malsamaj variabloj.

Konstruaĵo (baras, ŝtipoj, ŝtipas, kojnoj, kojnas, blokoj, blokas)

Estas ses baza (grupoj, grupas) de (variabloj, variablas): decido (variabloj, variablas), (enigo, enigi) (variabloj, variablas), (ŝtato, stato, stati) (variabloj, variablas), _exogenous_ (variabloj, variablas), hazarda variablo, kaj (eligi, eligo) (variabloj, variablas). Ekde tie povas esti multaj (variabloj, variablas) de ĉiu tipo, la (variabloj, variablas) estas ĝenerale (prezentita, prezentis) per (vektoroj, vektoras).

Decido (variabloj, variablas) estas iam sciata kiel nedependaj variabloj. _Exogenous_ (variabloj, variablas) estas iam sciata kiel (parametroj, parametras) aŭ (konstantoj, konstantas). La (variabloj, variablas) estas ne sendependa de unu la alian kiel la (ŝtato, stato, stati) (variabloj, variablas) estas dependa sur la decido, (enigo, enigi), hazarda, kaj _exogenous_ (variabloj, variablas). Plue, la (eligi, eligo) (variabloj, variablas) estas dependa sur la (ŝtato, stato, stati) de la sistemo ((prezentita, prezentis) per la (ŝtato, stato, stati) (variabloj, variablas)).

Objektivoj kaj (limigoj, limigas) de la sistemo kaj ĝia (uzantoj, uzantas) povas esti (prezentita, prezentis) kiel funkcioj de la (eligi, eligo) (variabloj, variablas) aŭ (ŝtato, stato, stati) (variabloj, variablas). La (empiria, objektiva) funkcioj estos dependi sur la perspektivo de la modela uzanto. Dependanta sur la ĉirkaŭteksto, (empiria, objektiva) funkcio estas ankaŭ sciata kiel indekso de (seanco, rendimento), kiel ĝi estas iu mezuri de (interezo, interesi) al la uzanto. Kvankam estas ne limigo al la nombro de (empiria, objektiva) funkcioj kaj (limigoj, limigas) modelo povas havi, uzanta aŭ optimumiganta la modelo iĝas pli komplika (kompute).

Klasifiko de matematikaj modeloj

Matematikaj modeloj povas esti klasifikitaj en kelkaj (vojoj, vojas), iu kies estas priskribita pli sube.

1. Lineara _vs_. nelineara: Se la (empiria, objektiva) funkcioj kaj (limigoj, limigas) estas (prezentita, prezentis) tute per linearaj ekvacioj, tiam la modelo estas sciata kiel lineara modelo. Se unu aŭ pli de la (empiria, objektiva) funkcioj aŭ (limigoj, limigas) estas (prezentita, prezentis) kun nelineara ekvacio, tiam la modelo estas sciata kiel nelineara modelo.
2. Determina _vs_. probableca (stokasto): A determina modelo plenumas la sama vojo por donita aro de komencaj kondiĉoj, dum en stokasta modelo, hazardo estas (prezenti, aktuala), (ebena, para, eĉ) kiam donita identa aro de komencaj kondiĉoj.
3. Statika _vs_. dinamika: A statika modelo ne (konto, kalkulo) por la ero de tempo, dum dinamika modelo faras. Dinamika (modeloj, modelas) tipe estas (prezentita, prezentis) kun diferencaj ekvacioj aŭ diferencialaj ekvacioj.
4. Bulita (parametroj, parametras) _vs_. distribuita (parametroj, parametras): Se la modelo estas homogena (konsekvenca (ŝtato, stato, stati) ĉie en la tuta sistemo) la (parametroj, parametras) estas bulita. Se la modelo estas _heterogeneous_ (varianta (ŝtato, stato, stati) en la sistemo), tiam la (parametroj, parametras) estas distribuita. Distribuita (parametroj, parametras) estas tipe (prezentita, prezentis) kun partaj diferencialaj ekvacioj.

Apriora informo

Matematika modelanta (problemoj, problemas) estas ofte (klasifikita, klasigita) enen nigra skatolo aŭ blanka skatolo (modeloj, modelas), laŭ kiom apriora informo estas havebla de la sistemo. Nigra-skatola modelo estas sistemo kies estas ne apriora informo havebla. Blanka-skatola modelo (ankaŭ (nomita, vokis) (vitro, glaso) skatolo aŭ klara skatolo) estas sistemo kie ĉiu necesa informo estas havebla. Praktike ĉiuj sistemoj estas ie inter la nigra-skatolo kaj blanka-skatolo (modeloj, modelas), (do, tiel) ĉi tiu koncepto nur (laboroj, laboras) kiel intuicia gvidi por (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo).

Kutime ĝi estas preferinda al uzi kiel multa apriora informo kiel ebla al fari la modelo pli preciza. Pro tio la blanka-skatolo (modeloj, modelas) estas kutime (konsiderita, konsideris) pli simpla, ĉar se vi havi uzita la informo ĝuste, tiam la modelo estos konduti ĝuste. Ofte la apriora informo venas en (formoj, formas) de scianta la tipo de funkcioj rilatante malsama (variabloj, variablas). Ekzemple, se ni fari modelo de kiel medicino (laboroj, laboras) en homa sistemo, ni scii (tiu, ke, kiu) kutime la kvanto de medicino en la sango estas eksponente kadukiĝanta funkcio. Sed ni estas ankoraŭ (maldekstre, restis) kun kelka nekonato (parametroj, parametras); kiel rapide faras la medicina kvanta kadukiĝo, kaj kio estas la komenca kvanto de medicino en sango? Ĉi tiu ekzemplo estas pro tio ne plene blanka-skatola modelo. Ĉi tiuj (parametroj, parametras) devi esti taksita tra iu (meznombroj, meznombras, signifas) antaŭ unu povas uzi la modelo.

En nigra-skatolo (modeloj, modelas) unu (penas, provas) al taksi ambaŭ la (funkcionalo, funkcia) (formo, formi) de rilatoj inter (variabloj, variablas) kaj la ciferecaj parametroj en tiuj funkcioj. Uzanta apriora informo ni povita finiĝi, ekzemple, kun aro de funkcioj (tiu, ke, kiu) (kredeble, verŝajne) povis priskribi la sistemo (sufiĉe, adekvate). Se estas ne apriora informo ni devus provi al uzi funkcioj kiel ĝenerala kiel ebla al kovri ĉiuj malsama (modeloj, modelas). Ofte uzita (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) por nigra-skatolo (modeloj, modelas) estas neŭronaj retoj kiu kutime ne alpreni preskaŭ io pri la rentantaj datumoj. La problemo kun uzanta granda aro de funkcioj al priskribi sistemo estas (tiu, ke, kiu) taksanta la (parametroj, parametras) iĝas (kreskante, pligrandiĝante) malfacila kiam la kvanto de (parametroj, parametras) (kaj malsama (klavas, tipoj) de funkcioj) (multigas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas).

Komplekseco

Alia baza (eldoni, eligo) estas la komplekseco de modelo. Se ni estita, ekzemple, modelanta la fuĝo de (flugmaŝino, aviadilo, aeroplano), ni povita _embed_ ĉiu mekanika parto de la (flugmaŝino, aviadilo, aeroplano) enen nia modelo kaj devus tial akiri preskaŭ blanka-skatola modelo de la sistemo. Tamen, la komputa kosti de adicianta tia giganta kvanto de detalo devus efike malebligi la uzado de tia modelo. (Cetere, Aldone), la necerte devus (multigi, pligrandiĝo) pro al finite kompleksa sistemo, ĉar ĉiu apartigi parto konkludas iu kvanto de varianco enen la modelo. Ĝi estas pro tio kutime adekvata al fari iuj proksimumaj kalkuladoj al redukti la modelo al prudenta amplekso. (Inĝenieroj, Inĝenieras) ofte povas akcepti iuj proksimumaj kalkuladoj por ke preni pli fortika kaj simpla modelo. Ekzemple Neŭtona klasika mekaniko estas aproksimita modelo de la (reala, reela) mondo. Ankoraŭ, Neŭtona modelo estas sufiĉe sufiĉa por plej ordinara-vivo (situacioj, situacias), tio estas, kiel longa kiel partiklaj rapidoj estas bone pli sube la lumrapideco, kaj ni studi _macro_-(partikloj, partiklas) nur.

(Trejnado, Trajnanta, Obeiganta, Vagonaranta, Baskanta, Trejnanta, Dresanta)

(Ĉiu, Iu) modelo kiu estas ne pura blanka-skatolo enhavas iu (parametroj, parametras) (tiu, ke, kiu) povas kutimi adapti la modelo al la sistema ĝi estos priskribi. Se la modelanta estas farita per neŭrona reto, la optimumigo de (parametroj, parametras) estas (nomita, vokis) (trejnado, trajnanta, obeiganta, vagonaranta, baskanta, trejnanta, dresanta). En pli kutima modelanta tra eksplicite donitaj matematikaj funkcioj, (parametroj, parametras) estas difinita per kurba adaptado.

Modela pritakso

Grava parto de la modelanta procezo estas la pritakso de akiris modelo. Kiel fari ni scii se matematika modelo priskribas la sistemo bone? Ĉi tiu estas ne facila demando al (respondo, respondi). Kutime la inĝeniero havas aro de (mezuroj, mezuras) de la sistemo kiu estas uzita en kreanta la modelo. Tiam, se la modelo estis konstruita bone, la modelo estos (sufiĉe, adekvate) montri la rilatoj inter sistemo (variabloj, variablas) por la (mezuroj, mezuras) je mano. La demando tiam iĝas: Kiel fari ni scii (tiu, ke, kiu) la mezuraj datumoj estas prezentanta aro de ebla (valoroj, valoras)? Faras la modelo priskribi bone la propraĵoj de la sistemo inter la mezuraj datumoj (interpolo)? Faras la modelo priskribi bone (eventoj, eventas) ekster la mezuraj datumoj (ekstrapolo)?

Komuna (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) estas al fendi la (mezuris, kriteriita) datumoj enen du (partoj, partas); (trejnado, trajnanta, obeiganta, vagonaranta, baskanta, trejnanta, dresanta) datumoj kaj kontrolaj datumoj. La (trejnado, trajnanta, obeiganta, vagonaranta, baskanta, trejnanta, dresanta) datumoj estas kutima trajno la modelo, tio estas, al taksi la modelo (parametroj, parametras) (vidi pli supre). La kontrolaj datumoj estas kutima pritaksi modelo (seanco, rendimento). Alprenanta (tiu, ke, kiu) la (trejnado, trajnanta, obeiganta, vagonaranta, baskanta, trejnanta, dresanta) datumoj kaj kontrolaj datumoj estas ne la sama, ni povas alpreni (tiu, ke, kiu) se la modelo priskribas la kontrolaj datumoj bone, tiam la modelo priskribas la (reala, reela) sistemo bone.

Tamen, ĉi tiu ankoraŭ lasas la ekstrapolan demandon malfermitan. Kiel bone tiu ĉi modelo ja priskribas eventojn ekster la mezuritaj datumoj? Konsideri denove Newton-an klasikan mekaniko-modelon. Neŭtono faris liajn mezurojn sen plibonigita aparataro, do li povis ne mezuri propraĵoj de partikloj vojaĝantaj je rapidoj proksime al la lumrapideco. Ankaŭ, li ja ne mezuris la delokigojn de molekuloj kaj alia malgrandaj partikloj, sed _macro_ partikloj nur. Ĝi estas tiam ne surprizanta ke lia modelo ne (eksterpolas, ekstrapolas) bone enen ĉi tiuj domajnoj, (ebena, para, eĉ) kvankam lia modelo estas sufiĉe sufiĉa por ordinara viva fiziko.

Vidu ankaŭ

• Modelo
• Simulado
• Komputila simulado
• Biologio-kuraĝigita komputanta
• Modelo (ekonomio)
• Matematikaj modeloj en fiziko

Ekstera ligiloj

• Programaro

Komputa _INfrastructure_ por (Operacioj, Operacias) Esplori — Malfermita kodo _OR_ kodo.

_AIMMS_ Matematika Modelanta Programaro— libera prova permesilo havebla.