Leĝo de Stefan-Boltzmann

Leĝo de Stefan-Boltzmann priskribas tutan povumon de radiado de nigra korpo en fiksa temperaturo. Ĝi estis prilaborata en 1879 de Jožef Stefan kaj de Ludwig Boltzmann.

$\Phi =\sigma T^{4}\,$

kaj:

$\Phi$ - Fluo de energio kiu estas elradiadata en orta direkto al surfaco de korpo (objekto) [$W/m^{2}$]

$\sigma$ - konstanto de Stefan-Boltzmann

$T$ - temperaturo en Kelvino

Elkonduko

Leĝo de Stefan-Boltzmann povas elkonduki uzante statistiko de Bose-Einstein por fotonoj kiuj estas fermata en ujo je volumeno V.

Meza energio de fotonoj en fiksa temperaturo T estas:

$\langle E\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }\hbar \omega \rho (\omega ){\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega$

kaj:

$\omega$ - frekvenco de fotonoj

$\rho (\omega )$ - denseco de statoj por fotonoj

$\hbar$ - konstanto de Planck

$K_{B}$ - konstanto de Boltzmann

Se ni pliproksimiĝis de frekvenco de fotonoj per

$\rho (\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}$

ni obtenis:

$\langle E\rangle ={\frac {V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{3}{\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega$

Valoro de superan integralon estas:

$\langle E\rangle ={\frac {6V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\left({\frac {K_{B}T}{\hbar }}\right)^{4}\zeta (4)$

kaj:

$\zeta (4)$ - valoro de funkcio zeto de Riemann

Supra rezultado estas homologa kun leĝo de Stefan-Boltzmann.