Ordonombro

Dosiero:Omega-exp-omega.svg

Reprezentaĵo de ordinaloj ĝis ω^ω. Ĉiu turno de la spiralo reprezentas na unu potenco de ω

En matematika aroteorio, numero, vicmontra nombro aŭ ordinalo estas tipo de ordo de plene ordigita aro. Plej kutime ili estas difinita kiel herede transitiva aro. Ordinaloj estas vastigo de aro de naturaloj, sed malsamaj de entjeroj kaj kardinalaj nombroj. Kiel por ĉiuj aliaj tipoj de nombroj, por ordinaloj estas difinitaj operacioj de adicio, multipliko kaj potenciigo.

Unue la koncepton de ordinalaj numeroj enkondukis Georg Cantor en 1897 por priskribi nefiniajn vicojn kaj klasi arojn laŭ teorio de ordo. Pli detaljn priskribojn de la sistemo donis Levy (1979) kaj Sacks (2003).

La finiaj ordinaloj (samkiel finiaj kardinaloj) estas naturaloj: 0, 1, 2, …, ĉar ĉiuj du ordoj de finia aro estas orde izomorfaj. La plej malgranda nefinia ordinalo ω estas identa kun plej malgranda nefinia kardinalo $\aleph _{0}$. Tamen, transfiniaj ordinaloj post ω havas fajnan distingon, kiun kardinaloj ne havas. Ekzemple, dum ekzistas nur unu nombrebla nefinia kardinalo $\aleph _{0}$, estas nefinie multe da nombreblaj nefiniaj ordinaloj:

ω, ω + 1, ω + 2, …, ω·2, ω·2 + 1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, ….

Malsimile al kardinaloj kaj aliaj nombraj sistemoj, en ordinaloj adicio kaj multipliko ne estas komutaj. Ekzemple, 1 + ω estas ω, sed ne ω + 1, kaj, simile, 2·ω estas ω, sed ne ω·2. Povo de aro de ĉiuj nombreblaj ordinaloj estas la unua nenombrebla ordinalo ω₁, kiu estas identa kun kardinalo $\aleph _{1}$ (la sekva post $\aleph _{0}$). Plene ordigitaj kardinaloj estas identaj kun iniaj komencaj ordinaloj, t.e. la plej malgrandaj ordinaloj de sama povo. Kiam oni parolas pri povo de ordinalo, oni parolas pri multaj-al-unu asocio inter ordinaloj kaj kardinaloj.

Ĝenerale, ĉiu ordinalo α estas la tipo de ordo de la aro de ordinaloj, strikte malpli grandaj ol α mem. Tiel ĉiu ordinalo povas esti reprezentita per aro de ĉiuj ordinaloj, malpli grandaj ol ĝi mem. Aro de ordinaloj povas estis apartigita je kategorioj: nulo, finiaj ordinaloj kaj limesaj ordinaloj de variaj kunfiniecoj. Se donata klaso de ordinaloj, oni povas difini la α-an membron de tiu ĉi klaso, t.e. oni povas numeri ilin. La klaso estas fermita kaj nebarita se ĝia indica funkcio estas kontinua kaj ne finiĝas. La Cantor-norma formo de ordinalo estas unika reprezentaĵo de iu ordinalo kiel finia sumo de ordinalaj potencoj de ω. Tamen, tiu ĉi notacio povas esti nekonsista pro tiaj memreferencaj reprezentaĵoj kiel $\epsilon _{0}=\omega ^{\epsilon _{0}}$. Pli kaj pli grandaj ordinaloj povas esti difinitaj kaj ili iĝas pli kaj pli malfacile priskribeblaj.

Ĉiu ordinalo povas esti transformita al topologia spaco per orda topologio. Tiu topologio estu diskreta se kaj nur se la ordinalo estas identa kun nombrebla kardinalo, t.e. ne pli granda ol ω. Subaro ω + 1 estas malfermita en la orda topologio se kaj nur se ĝi estas kunfinia aŭ ne enhavas na ω.