Rimana ζ funkcio

Pri la aliaj funkcioj estas skribataj per la litero ζ rigardu en funkcio ζ (apartigilo).

---

Funkcio: zeto de Riemann – unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

${\zeta }(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{z}$

Serio estas konverĝa por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

Ecoj

Por nombroj $z$ kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

${\zeta }(z)=2^{z}\pi ^{({\frac {1}{z}})}\Gamma (1-z){\zeta }(1-z)$

kaj $\Gamma$ estas funkcio Γ de Euler.

Diagramo de ζ(x)

Kelkaj valoroj

$\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

$\zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}$

La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto

Ojler montris ke $\zeta (z)=\prod _{{\text{prima }}p}(1-{\frac {1}{p^{z}}})^{-1}$. Ĉi tiu formulo veras por ĉiu $z$ kies reela parto estas pli ol $1$.

$\zeta (z)=\prod _{{\text{prima }}p}(1-{\frac {1}{p^{z}}})^{-1}$