Reelo: Malsamoj inter versioj

'''Reelaj nombrojReeloj''' (aŭ ''reeloj'' aŭ ''realaj nombroj'') estas intuicie definitaj kiel [[nombro]]j, kiuj estas [[bijekcio|bijekciaj]] al la punktoj sur malfinia [[liniorekto]], la [[nombra linioakso]]. LaHistorie vortola termino ''reelareala nombro'' estis konstruita responde kaj kontraste al [[kompleksa nombro|imaginara nombro]]. En Esperanto oni kutime uzas apartan radikon substantivan ''reelo''.

Reelaj nombrojReelo povas estisesti [[racionala nombro|racionalajracionala]] aŭ [[neracionala nombro|neracionalajneracionala]]; [[algebra nombro|algebrajalgebra]] aŭ [[transcenda nombro|transcendajtranscenda]]; kaj [[pozitiva nombro|pozitivajpozitiva]], [[negativa nombro|negativajnegativa]] aŭ [[nulo]].

Teorie la reelajreelojn nombrojeblas povas esti esprimitajprezenti per [[decimalapozicia frakcio|decimalajpoziciaj frakcioj]], kiujhavantaj havas infinitemalfinie multajn ciferojn dekstre de la decimala on-komo. Tamen oni praktike neniam povus skribi la decimalanpozician frakcion de neracionala nombro, ĉar oni bezonus infinite multan tempon kaj spacon.

La aro de reelajĉiuj nombrojreeloj estas signata per '''R''' aŭ ℝ.

[[Frakcio]]j estis uzataj de la [[Historio de Egiptio|egiptojegipto]]j jam ĉirkaŭ [[-1000|1000 a.K.]]. Ĉirkaŭ [[-500|500 a.K.]] [[Grekio|grekaj]] [[matematikisto]]j gvidataj de [[Pitagoro]] notis la neceson de [[neracionala nombro|neracionalaj nombroj]].

La strikta teorio de reelaj nombrojreeloj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de [[Karl Weierstraß|K. Weierstrass]], [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|R. Dedekind]] kaj [[Georg Cantor|G. Cantor]].

Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelajn nombrojnreelojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelan nombronreelon kiel [[dedekinda tranĉo|dedekindan tranĉon]] de la racionalaj nombroj.

=== Aksiomoj depri la reelaj nombrojreeloj ===

Oni povas karakterizi la [[kampo (algebro)|kampon]] de reelaj nombrojreeloj per tiuj [[aksiomo]]j (ĝis [[izomorfio]]):

* La '''[[kampo (algebro)|kampo-aksiomoj]]''' depri [[adicio]], [[multipliko]] kaj [[distribueco]]

* '''Aksiomo depri [[ordo]]''', unu el la du ekvivalentaj aksiomoj

*** ''Ĉiu sekco en la aro de reelaj nombrojreeloj havas limon.''

*** ''Ĉiu kolektiĝanta sistemo de detranĉoj {[An, Bn]} de nombra linioakso, havas solan nombron, kiu apartenas al ĉiuj detranĉoj.''

Ankaŭ estas la [[aksiomo de Cantor-Dedekind]] kiu priskribas rilaton de reelaj nombrojreeloj al [[geometrio]].

Post montrinte la paradoksoj de [[malfinio]], kiu montras, ke la racionalaj nombroj, kvankam malfinie pli nombraj ol la [[entjero|entjeraj nombroj]] estas tamen "egale" nombraj, ĉar eblas konstrui parigadosistemon, per kiu ĉiu ero de la unua aro estas parigita laŭ [[ensurĵeto]] kun ĉiu ero de la dua. Sed kun la sama rezono, eblas pruvi, ke la malfinio de la aro de reelaj nombrojreeloj ([[kardinalo de kontinuaĵo]]) estas pli granda!

:Jen nun ni konstruu reelan nombronreelon kies unua decimalo estu io ajn krom la unua decimalo de la unua reelo de la tabelo. Ties dua decimalo ni faru io ajn krom la dua decimalo de la dua reelo de la tabelo. Kaj tiel plu (malfinie kompreneble!)

:Do nun tiu konstruita nombro ne povos esti parigita kun la unua entjero, ĉar ties unua decimalo nepre estos malsama. Ĝi ne povos esti parigita kun la dua, ĉar ĝia dua decimalo estos malsama. Kaj tiel plu. Do tiu nombro NE troviĝas en la supozita tuta parigado. CQFD (latine: Quod erat demonstrandum, tiokio estis demonstrendapruvenda).

* [[Arkimeda propraĵo]] estas la propraĵo de ne havo de ''malfinie grandaj'' aŭ ''malfinie malgrandaj'' ([[infinitezimo|infinitezimaj]]) eroj, la propraĵo rilatas ankaŭ al reelaj nombrojreeloj.