Reelo: Malsamoj inter versioj

[nekontrolita versio]

← Iru al antaŭa ŝanĝo Iru al sekvanta ŝanĝo →

Enhavo forigita Enhavo aldonita

Enteksta

Kiel registrite je 14:18, 22 jan. 2012

Reeloj (realaj nombroj) estas intuicie definitaj kiel nombroj, kiuj estas bijekciaj al la punktoj sur malfinia rekto, la nombra akso. Historie la termino reala nombro estis konstruita responde kaj kontraste al imaginara nombro. En Esperanto oni kutime uzas apartan radikon substantivan reelo.

Reelo povas esti racionala aŭ neracionala; algebra aŭ transcenda; kaj pozitiva, negativa aŭ nulo.

Teorie la reelojn eblas prezenti per poziciaj frakcioj, havantaj malfinie multajn ciferojn dekstre de la on-komo. Tamen oni praktike neniam povus skribi la pozician frakcion de neracionala nombro, ĉar oni bezonus infinite multan tempon kaj spacon.

La aro de ĉiuj reeloj estas signata per R aŭ ℝ.

Historio

Frakcioj estis uzataj de la egiptoj jam ĉirkaŭ 1000 a.K.. Ĉirkaŭ 500 a.K. grekaj matematikistoj gvidataj de Pitagoro notis la neceson de neracionalaj nombroj.

La strikta teorio de reeloj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de K. Weierstrass, R. Dedekind kaj G. Cantor.

Difino

Konstruo de la reeloj el la racionaloj

Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelon kiel dedekindan tranĉon de la racionalaj nombroj.

Aksiomoj pri la reeloj

Oni povas karakterizi la kampon de reeloj per tiuj aksiomoj (ĝis izomorfio):

La kampo-aksiomoj pri adicio, multipliko kaj distribueco
Aksiomo pri ordo, unu el la du ekvivalentaj aksiomoj
- ekzistas harmonia tuteca ordo (K, <) (do el 0 < a kaj 0 < b sekvas 0 < a + b kaj 0 < a·b)
- ekzistas subaro K₊ tiel, ke
  - K = K₊ U {0} U −K₊
  - Se a,b ∈ K₊, tiam a + b ∈ K₊ kaj a·b ∈ K₊
Unu el la (ekvivalentaj) aksiomoj de kompleteco :
- Aksiomo de Weierstrass :
  - Ĉiu nemalplena limigita desupre nombra aro havas solan supran limon.
- Aksiomo de Dedekind
  - Ĉiu sekco en la aro de reeloj havas limon.
- Aksiomo de Cantor
  - Ĉiu kolektiĝanta sistemo de detranĉoj {[An, Bn]} de nombra akso, havas solan nombron, kiu apartenas al ĉiuj detranĉoj.

Ankaŭ estas la aksiomo de Cantor-Dedekind kiu priskribas rilaton de reeloj al geometrio.

Demonstrado de Cantor pli la "pligrandeco" de la infinito de reelaj

Post montrinte la paradoksoj de malfinio, kiu montras, ke la racionalaj nombroj, kvankam malfinie pli nombraj ol la entjeraj nombroj estas tamen "egale" nombraj, ĉar eblas konstrui parigadosistemon, per kiu ĉiu ero de la unua aro estas parigita laŭ ensurĵeto kun ĉiu ero de la dua. Sed kun la sama rezono, eblas pruvi, ke la malfinio de la aro de reeloj (kardinalo de kontinuaĵo) estas pli granda!

Ni supozu, ke tia parigado estus efektivigita. Do ni ricevas tabelon, en kies unua kolumno troviĝas la tuta vico de la malfininombraj entjeroj ("potenco de la malkontinua"), en la sekvaj estos, linio post linio la laŭvicaj decimaloj de la ĉiu reela nombro parigita kun ĉiu entjera.

Jen nun ni konstruu reelon kies unua decimalo estu io ajn krom la unua decimalo de la unua reelo de la tabelo. Ties dua decimalo ni faru io ajn krom la dua decimalo de la dua reelo de la tabelo. Kaj tiel plu (malfinie kompreneble!)

Do nun tiu konstruita nombro ne povos esti parigita kun la unua entjero, ĉar ties unua decimalo nepre estos malsama. Ĝi ne povos esti parigita kun la dua, ĉar ĝia dua decimalo estos malsama. Kaj tiel plu. Do tiu nombro NE troviĝas en la supozita tuta parigado. CQFD (latine: Quod erat demonstrandum, kio estis pruvenda).

Vidu ankaŭ

Natura nombro
Entjero
Racionala nombro
Neracionala nombro
Algebra nombro
Transcenda nombro
Kompleksa nombro
Aksiomo de Cantor-Dedekind
Arkimeda propraĵo estas la propraĵo de ne havo de malfinie grandaj aŭ malfinie malgrandaj (infinitezimaj) eroj, la propraĵo rilatas ankaŭ al reeloj.
Kardinalo de kontinuaĵo

Ŝablono:LigoElstara

@@ Linio 1: / Linio 1: @@
-'''Reelaj nombroj''' (aŭ ''reeloj'' aŭ ''realaj nombroj'') estas intuicie definitaj kiel [[nombro]]j, kiuj estas [[bijekcio|bijekciaj]] al la punktoj sur malfinia [[linio]], la [[nombra linio]]. La vorto ''reela nombro'' estis konstruita responde kaj kontraste al [[kompleksa nombro|imaginara nombro]].
+'''Reeloj''' (''realaj nombroj'') estas intuicie definitaj kiel [[nombro]]j, kiuj estas [[bijekcio|bijekciaj]] al la punktoj sur malfinia [[rekto]], la [[nombra akso]]. Historie la termino ''reala nombro'' estis konstruita responde kaj kontraste al [[kompleksa nombro|imaginara nombro]].  En Esperanto oni kutime uzas apartan radikon substantivan ''reelo''.
-Reelaj nombroj povas estis [[racionala nombro|racionalaj]] aŭ [[neracionala nombro|neracionalaj]]; [[algebra nombro|algebraj]] aŭ [[transcenda nombro|transcendaj]]; kaj [[pozitiva nombro|pozitivaj]], [[negativa nombro|negativaj]] aŭ [[nulo]].
+Reelo povas esti [[racionala nombro|racionala]] aŭ [[neracionala nombro|neracionala]]; [[algebra nombro|algebra]] aŭ [[transcenda nombro|transcenda]]; kaj [[pozitiva nombro|pozitiva]], [[negativa nombro|negativa]] aŭ [[nulo]].
-Teorie la reelaj nombroj povas esti esprimitaj per [[decimala frakcio|decimalaj frakcioj]], kiuj havas infinite multajn ciferojn dekstre de la decimala komo. Tamen oni praktike neniam povus skribi la decimalan frakcion de neracionala nombro, ĉar oni bezonus infinite multan tempon kaj spacon.
+Teorie la reelojn eblas prezenti per [[pozicia frakcio|poziciaj frakcioj]], havantaj malfinie multajn ciferojn dekstre de la on-komo. Tamen oni praktike neniam povus skribi la pozician frakcion de neracionala nombro, ĉar oni bezonus infinite multan tempon kaj spacon.
-La aro de reelaj nombroj estas signata per '''R''' aŭ ℝ.
+La aro de ĉiuj reeloj estas signata per '''R''' aŭ ℝ.
 == Historio ==
-[[Frakcio]]j estis uzataj de la [[Historio de Egiptio|egiptoj]] jam ĉirkaŭ [[-1000|1000 a.K.]]. Ĉirkaŭ [[-500|500 a.K.]] [[Grekio|grekaj]] [[matematikisto]]j gvidataj de [[Pitagoro]] notis la neceson de [[neracionala nombro|neracionalaj nombroj]].
+[[Frakcio]]j estis uzataj de la [[egipto]]j jam ĉirkaŭ [[-1000|1000 a.K.]]. Ĉirkaŭ [[-500|500 a.K.]] [[Grekio|grekaj]] [[matematikisto]]j gvidataj de [[Pitagoro]] notis la neceson de [[neracionala nombro|neracionalaj nombroj]].
-La strikta teorio de reelaj nombroj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de [[Karl Weierstraß|K. Weierstrass]], [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|R. Dedekind]] kaj [[Georg Cantor|G. Cantor]].
+La strikta teorio de reeloj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de [[Karl Weierstraß|K. Weierstrass]], [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|R. Dedekind]] kaj [[Georg Cantor|G. Cantor]].
 == Difino ==
 === Konstruo de la reeloj el la racionaloj ===
-Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelajn nombrojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelan nombron kiel [[dedekinda tranĉo]] de la racionalaj nombroj.
+Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelon kiel [[dedekinda tranĉo|dedekindan tranĉon]] de la racionalaj nombroj.
-=== Aksiomoj de la reelaj nombroj ===
+=== Aksiomoj pri la reeloj ===
-Oni povas karakterizi la [[kampo (algebro)|kampon]] de reelaj nombroj per tiuj [[aksiomo]]j (ĝis [[izomorfio]]):
+Oni povas karakterizi la [[kampo (algebro)|kampon]] de reeloj per tiuj [[aksiomo]]j (ĝis [[izomorfio]]):
-* La '''[[kampo (algebro)|kampo-aksiomoj]]''' de [[adicio]], [[multipliko]] kaj [[distribueco]]
+* La '''[[kampo (algebro)|kampo-aksiomoj]]''' pri [[adicio]], [[multipliko]] kaj [[distribueco]]
-* '''Aksiomo de [[ordo]]''', unu el la du ekvivalentaj aksiomoj
+* '''Aksiomo pri [[ordo]]''', unu el la du ekvivalentaj aksiomoj
 ** ekzistas harmonia [[tuteca ordo]] ''(K, <)'' (do el 0 < ''a'' kaj 0 < ''b'' sekvas 0 < ''a + b'' kaj 0 < ''a·b'')
 ** ekzistas subaro ''K₊'' tiel, ke
@@ Linio 28: / Linio 28: @@
 *** ''Ĉiu nemalplena limigita desupre nombra aro havas solan supran limon.''
 ** [[Aksiomo]] de [[DEDEKIND|Dedekind]]
-*** ''Ĉiu sekco en la aro de reelaj nombroj havas limon.''
+*** ''Ĉiu sekco en la aro de reeloj havas limon.''
 ** [[Aksiomo]] de [[Georg Cantor|Cantor]]''
-*** ''Ĉiu kolektiĝanta sistemo de detranĉoj {[An, Bn]} de nombra linio, havas solan nombron, kiu apartenas al ĉiuj detranĉoj.''
+*** ''Ĉiu kolektiĝanta sistemo de detranĉoj {[An, Bn]} de nombra akso, havas solan nombron, kiu apartenas al ĉiuj detranĉoj.''
-Ankaŭ estas la [[aksiomo de Cantor-Dedekind]] kiu priskribas rilaton de reelaj nombroj al [[geometrio]].
+Ankaŭ estas la [[aksiomo de Cantor-Dedekind]] kiu priskribas rilaton de reeloj al [[geometrio]].
 === Demonstrado de Cantor pli la "pligrandeco" de la infinito de reelaj ===
-Post montrinte la paradoksoj de [[malfinio]], kiu montras, ke la racionalaj nombroj, kvankam malfinie pli nombraj ol la [[entjero|entjeraj nombroj]] estas tamen "egale" nombraj, ĉar eblas konstrui parigadosistemon, per kiu ĉiu ero de la unua aro estas parigita laŭ [[ensurĵeto]] kun ĉiu ero de la dua. Sed kun la sama rezono, eblas pruvi, ke la malfinio de la aro de reelaj nombroj ([[kardinalo de kontinuaĵo]]) estas pli granda!
+Post montrinte la paradoksoj de [[malfinio]], kiu montras, ke la racionalaj nombroj, kvankam malfinie pli nombraj ol la [[entjero|entjeraj nombroj]] estas tamen "egale" nombraj, ĉar eblas konstrui parigadosistemon, per kiu ĉiu ero de la unua aro estas parigita laŭ [[ensurĵeto]] kun ĉiu ero de la dua. Sed kun la sama rezono, eblas pruvi, ke la malfinio de la aro de reeloj ([[kardinalo de kontinuaĵo]]) estas pli granda!
 :Ni supozu, ke tia parigado estus efektivigita. Do ni ricevas tabelon, en kies unua kolumno troviĝas la tuta vico de la malfininombraj entjeroj ("[[potenco de la malkontinua]]"), en la sekvaj estos, linio post linio la laŭvicaj decimaloj de la ĉiu reela nombro parigita kun ĉiu entjera.
-:Jen nun ni konstruu reelan nombron kies unua decimalo estu io ajn krom la unua decimalo de la unua reelo de la tabelo. Ties dua decimalo ni faru io ajn krom la dua decimalo de la dua reelo de la tabelo. Kaj tiel plu (malfinie kompreneble!)
+:Jen nun ni konstruu reelon kies unua decimalo estu io ajn krom la unua decimalo de la unua reelo de la tabelo. Ties dua decimalo ni faru io ajn krom la dua decimalo de la dua reelo de la tabelo. Kaj tiel plu (malfinie kompreneble!)
-:Do nun tiu konstruita nombro ne povos esti parigita kun la unua entjero, ĉar ties unua decimalo nepre estos malsama. Ĝi ne povos esti parigita kun la dua, ĉar ĝia dua decimalo estos malsama. Kaj tiel plu. Do tiu nombro NE troviĝas en la supozita tuta parigado. CQFD (latine: Quod erat demonstrandum, tio estis demonstrenda).
+:Do nun tiu konstruita nombro ne povos esti parigita kun la unua entjero, ĉar ties unua decimalo nepre estos malsama. Ĝi ne povos esti parigita kun la dua, ĉar ĝia dua decimalo estos malsama. Kaj tiel plu. Do tiu nombro NE troviĝas en la supozita tuta parigado. CQFD (latine: Quod erat demonstrandum, kio estis pruvenda).
 == Vidu ankaŭ ==
@@ Linio 50: / Linio 50: @@
 * [[Kompleksa nombro]]
 * [[Aksiomo de Cantor-Dedekind]]
-* [[Arkimeda propraĵo]] estas la propraĵo de ne havo de ''malfinie grandaj'' aŭ ''malfinie malgrandaj'' ([[infinitezimo|infinitezimaj]]) eroj, la propraĵo rilatas ankaŭ al reelaj nombroj.
+* [[Arkimeda propraĵo]] estas la propraĵo de ne havo de ''malfinie grandaj'' aŭ ''malfinie malgrandaj'' ([[infinitezimo|infinitezimaj]]) eroj, la propraĵo rilatas ankaŭ al reeloj.
 * [[Kardinalo de kontinuaĵo]]