Subaro: Malsamoj inter versioj

El Vikipedio, la libera enciklopedio
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Maksim-bot (diskuto | kontribuoj)
Neniu resumo de redakto
 
Neniu resumo de redakto
Linio 1: Linio 1:
{{polurinda movu|Subaro}}
[[Dosiero:Venn A subset B.png|150px|thumb|right|''A'' estas subaro de ''B'', kaj ''B'' estas superaro de ''A''.]]
[[Dosiero:Venn A subset B.png|150px|thumb|right|''A'' estas subaro de ''B'', kaj ''B'' estas superaro de ''A''.]]


En [[matematiko]], aparte en [[aroteorio]], [[aro]] ''A'' estas '''subaro''' de aro ''B'', se ''A'' estas "enhavita" ene ''B''. La interrilato de unu aro estante subaro de alia estas (nomita, vokis) '''inkluziveco'''. Ĉiu aro estas subaro de sin.
En [[matematiko]], aparte en [[aroteorio]], [[aro]] ''A'' estas '''subaro''' de aro ''B'', se ''A'' estas "enhavata" ene de ''B''. La interrilato de unu aro estante subaro de alia estas nomata kiel '''inkluziveco'''. Ĉiu aro estas subaro de si.


Pli formale, Se ''A'' kaj ''B'' estas [[Aro|aroj]] kaj ĉiu [[Ero (matematiko)|ero]] de ''A'' estas ankaŭ ero de ''B'', tiam:
Pli formale, Se ''A'' kaj ''B'' estas [[aro]]j kaj ĉiu [[Ero (matematiko)|ero]] de ''A'' estas ankaŭ ero de ''B'', tiam:
* ''A'' estas '''subaro''' de (aŭ estas '''inkluzivita''' en) ''B'', signifis per ''A'' ⊆ ''B'',
* ''A'' estas '''subaro''' de (aŭ estas '''inkluzivita''' en) ''B'', skribata per ''A'' ⊆ ''B'',
aŭ ekvivalente
aŭ ekvivalente
* ''B'' estas '''superaro''' de (aŭ '''inkluzivas''') ''A'', signifis per ''B'' ⊇ ''A''.
* ''B'' estas '''superaro''' de (aŭ '''inkluzivas''') ''A'', skribata per ''B'' ⊇ ''A''.


Se ''A'' estas subaro de ''B'', sed ''A'' estas ne egala al ''B'', tiam A estas ankaŭ '''pozitiva''' (aŭ '''severa''') '''subaro''' de ''B''. Ĉi tiu estas skribita kiel ''A'' ⊂ ''B''. En la sama vojo, ''B'' ⊃ ''A'' (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke) B estas '''pozitiva superaro''' de ''A''.
Se ''A'' estas subaro de ''B'', sed ''A'' estas ne egala al ''B'', tiam A estas ankaŭ '''pozitiva''' (aŭ '''severa''') '''subaro''' de ''B''. Ĉi tio estas skribita kiel ''A'' ⊂ ''B''. En la sama vojo, ''B'' ⊃ ''A'' signifas ke B estas '''pozitiva superaro''' de ''A''.


Facila vojo al memori la diferenco en (simboloj, simbolas) estas al (tononomo, noto, noti) (tiu, ke) ⊆ kaj ⊂ estas analoga al ≤ kaj <. Ekzemple, se ''A'' estas subaro de ''B'' (skribita kiel ''A'' ⊆ ''B''), tiam la nombro de eroj en A estas malpli ol aŭ egala al la nombro de eroj en ''B'' (skribita kiel |''A''| ≤ |''B''|). Ankaŭ, por [[Finia|finiaj]] aroj ''A'' kaj ''B'', se ''A'' ⊂ ''B'' tiam |''A''| < |''B''|.
Simboloj ⊆ kaj ⊂ estas analoga al ≤ kaj <. Ekzemple, se ''A'' estas subaro de ''B'' (skribita kiel ''A'' ⊆ ''B''), tiam la kvanto de eroj en A estas malpli ol aŭ egala al la kvanto de eroj en ''B'' (skribita kiel |''A''| ≤ |''B''|). Ankaŭ, por [[Finia|finiaj]] aroj ''A'' kaj ''B'', se ''A'' ⊂ ''B'' tiam |''A''| < |''B''|.
<!--
Multaj aŭtoroj ne sekvi la pli suprajn konvenciojn, sed uzas signon &sub; por priskribi simple subaro (iom ol pozitiva subaro). Estas unusenca simbolo, <math>\subsetneq</math> (aŭ en [[Unikodo]]), por pozitiva subaro. Iu (aŭtoroj, aŭtoras) uzi ambaŭ unusenca (simboloj, simbolas), &sube; por subaro kaj <math>\subsetneq</math> por pozitiva subaro, kaj _dispense_ kun &sub; entute. La korespondantaj mallaŭdoj kandidati (superaroj, superaras) kiel bone.
-->


Por (ĉiu, iu) aro ''S'', inkluziveco estas [[Duargumenta rilato|rilato]] sur la [[aro de ĉiuj subaroj]] de ''S''.
N.b. Multaj (aŭtoroj, aŭtoras) ne sekvi la pli supre (konvencioj, konvencias), sed uzi &sub; al (meznombro, signifi) simple subaro (iom ol pozitiva subaro). Estas unusenca simbolo, <math>\subsetneq</math> (aŭ en [[Unikodo]]), por pozitiva subaro. Iu (aŭtoroj, aŭtoras) uzi ambaŭ unusenca (simboloj, simbolas), &sube; por subaro kaj <math>\subsetneq</math> por pozitiva subaro, kaj _dispense_ kun &sub; entute. La korespondantaj mallaŭdoj kandidati (superaroj, superaras) kiel bone.


== Ekzemploj ==
Por (ĉiu, iu) aro ''S'', inkluziveco estas [[Duargumenta rilato|rilato]] sur la aro de ĉiuj subaroj de ''S'' (la [[aro de ĉiuj subaroj]] de ''S'').

== (Ekzemploj, Ekzemplas) ==


* La aro {1, 2} estas pozitiva subaro de {1, 2, 3}.
* La aro {1, 2} estas pozitiva subaro de {1, 2, 3}.
* La aro de [[Natura nombro|naturaj nombroj]] estas pozitiva subaro de la aro de [[Racionala nombro|(racionalaj nombroj, racionoj, racionaloj)]].
* La aro de [[Natura nombro|naturaj nombroj]] estas pozitiva subaro de la aro de [[Racionala nombro|racionalaj nombroj]].
* La aro {''x'' : ''x'' estas [[primo]] pli granda ol 2000} estas pozitiva subaro de {''x'' : ''x'' estas nepara nombro pli granda ol 1000}
* La aro {''x'' : ''x'' estas [[primo]] pli granda ol 2000} estas pozitiva subaro de {''x'' : ''x'' estas nepara nombro pli granda ol 1000}
* (Ĉiu, Iu) aro estas subaro de sin, sed ne pozitiva subaro.
* Ĉiu aro estas subaro de si, sed ne pozitiva subaro.
* La [[malplena aro]], skribita &oslash;, estas ankaŭ subaro de (ĉiu, iu) donita aro ''X''. (Ĉi tiu (propozicio, frazo, ordono) estas _vacuously_ vera, vidi pruvo pli sube) La malplena aro estas ĉiam pozitiva subaro, escepti de sin.
* La [[malplena aro]], skribita &oslash;, estas ankaŭ subaro de ĉiu aro ''X''. Malplena aro estas pozitiva subaro de ĉiuj aroj krom si.
<!--

== Propraĵoj ==
== Propraĵoj ==


Linio 78: Linio 78:


Por la [[aro de ĉiuj subaroj]] de aro ''S'', la inkluziveca parta ordo estas (supren al (mendi, ordo)-izomorfio) la [[Kartezia produto]] de |''S''| (la [[kardinalo]] de ''S'') (kopioj, kopias) de la parta ordo sur {0,1}, por kiu 0 &lt; 1.
Por la [[aro de ĉiuj subaroj]] de aro ''S'', la inkluziveca parta ordo estas (supren al (mendi, ordo)-izomorfio) la [[Kartezia produto]] de |''S''| (la [[kardinalo]] de ''S'') (kopioj, kopias) de la parta ordo sur {0,1}, por kiu 0 &lt; 1.
-->
{{komentitaj partoj}}
[[Kategorio:Aroteorio]]
[[Kategorio:Aroteorio]]



Kiel registrite je 16:04, 24 mar. 2006

A estas subaro de B, kaj B estas superaro de A.

En matematiko, aparte en aroteorio, aro A estas subaro de aro B, se A estas "enhavata" ene de B. La interrilato de unu aro estante subaro de alia estas nomata kiel inkluziveco. Ĉiu aro estas subaro de si.

Pli formale, Se A kaj B estas aroj kaj ĉiu ero de A estas ankaŭ ero de B, tiam:

  • A estas subaro de (aŭ estas inkluzivita en) B, skribata per AB,

aŭ ekvivalente

  • B estas superaro de (aŭ inkluzivas) A, skribata per BA.

Se A estas subaro de B, sed A estas ne egala al B, tiam A estas ankaŭ pozitiva (aŭ severa) subaro de B. Ĉi tio estas skribita kiel AB. En la sama vojo, BA signifas ke B estas pozitiva superaro de A.

Simboloj ⊆ kaj ⊂ estas analoga al ≤ kaj <. Ekzemple, se A estas subaro de B (skribita kiel AB), tiam la kvanto de eroj en A estas malpli ol aŭ egala al la kvanto de eroj en B (skribita kiel |A| ≤ |B|). Ankaŭ, por finiaj aroj A kaj B, se AB tiam |A| < |B|.

Por (ĉiu, iu) aro S, inkluziveco estas rilato sur la aro de ĉiuj subaroj de S.

Ekzemploj

  • La aro {1, 2} estas pozitiva subaro de {1, 2, 3}.
  • La aro de naturaj nombroj estas pozitiva subaro de la aro de racionalaj nombroj.
  • La aro {x : x estas primo pli granda ol 2000} estas pozitiva subaro de {x : x estas nepara nombro pli granda ol 1000}
  • Ĉiu aro estas subaro de si, sed ne pozitiva subaro.
  • La malplena aro, skribita ø, estas ankaŭ subaro de ĉiu aro X. Malplena aro estas pozitiva subaro de ĉiuj aroj krom si.