Normo (matematiko): Malsamoj inter versioj

Salti al navigilo Salti al serĉilo
29 bitokojn forigis ,  antaŭ 8 jaroj
e
Roboto anstataŭigis entojn
e (r2.7.1) (robota aldono de: cy:Norm (mathemateg))
e (Roboto anstataŭigis entojn)
==Difino==
 
Por donita [[vektora spaco]] ''V'' super [[subkorpo]] '''F''' de la [[kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]] kiel la kompleksaj nombroj mem aŭ la [[reela nombro|reela nombroj]], '''duonnormo''' sur ''V'' estas [[funkcio (matematiko)|funkcio]] ''p'':''V''→'''R'''; ''x''→ ''p''(''x'') kun jenaj propraĵoj:
 
Por ĉiuj ''a'' en ''F'' kaj ĉiuj '''u''' kaj '''v''' en ''V'',
# ''p''('''v''') ≥ 0 (''pozitiveco'')
# ''p''(''a'' '''v''') = |''a''| ''p''('''v'''), (''pozitiva [[homogeneco]]'' aŭ ''pozitiva [[skalo|skaligeco]]'')
# ''p''('''u''' + '''v''') ≤ ''p''('''u''') + ''p''('''v''') (''[[triangula neegalaĵo]]'' aŭ ''[[subadicia funkcio|subadicieco]]'').
 
'''Normo''' estas ''duonnormo'' kun la aldona propraĵo
 
Utila konsekvenco de la normaj aksiomoj estas la neegalaĵo
:||'''u''' ± '''v'''|| ≥ | ||'''u'''|| − ||'''v'''|| |
 
por ĉiuj '''u''' kaj '''v''' ∈ ''K''.
* La ''bagatela duonnormo'', ''p''(''x'') = 0 por ĉiuj ''x'' en ''V''.
* La [[absoluta valoro]] estas normo sur la reelaj nombroj.
* Ĉiu [[lineara formo]] ''f'' sur vektora spaco difinas duonnormon per ''x''→|''f''(''x'')|.
 
===Eŭklida normo===
 
===''p''-normo===
Estu ''p''≥1≥1 reela nombro.
:<math>\|x\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}</math>
Noto ke por ''p''=1 ĝi estas la taksia normo kaj por ''p''=2 ĝi estas la eŭklida normo.
La koncepto de [[unuobla cirklo]] (la aro de ĉiuj vektoroj de normo 1) estas malsama en malsama normoj: por la 1-normo la unuobla cirklo en '''R'''<sup>2</sup> estas [[kvadrato (geometrio)|kvadrato]], por la 2-normo (eŭklida normo) ĝi estas la konata unuobla [[cirklo]], dum por la malfinia normo ĝi estas [[kvadrato (geometrio)|kvadrato]] sed alie turnita.
 
Du normoj ||&middot;·||<sub>1</sub> kaj ||&middot;·||<sub>2</sub> sur vektora spaco ''V'' estas ''ekvivalentaj'' se ekzisti pozitivaj reelaj nombroj ''C'' kaj ''D'' tiaj ke
:<math>C\|x\|_1\leq\|x\|_2\leq D\|x\|_1</math>
por ĉiu ''x'' en ''V''. Sur finie dimensia vektora spaco ĉiuj normoj estas ekvivalentaj.
3 631

redaktoj

Navigada menuo