Ĉena frakcio

Ĉena frakcio aŭ ĉenfrakcio estas matematika objekto de jena formo:

$b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{\ddots }}}}}}}}\quad$

kun $b_{0}\in \mathbb {Z}$, $a_{i},b_{i}\in \mathbb {N}$, aŭ

$b_{0}+{\cfrac {1}{b_{1}+{\cfrac {1}{b_{2}+{\cfrac {1}{b_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}$

kun $b_{0}\in \mathbb {Z}$ kaj $b_{i}\in \mathbb {N}$. La unua formo nomiĝas ankaŭ "ĝeneraligita", la dua ankaŭ "regulara".

Se ĉena frakcio havas finie da elementoj (iun sub-frakcion anstataŭas simpla nombro), ĝi nomiĝas finia ĉena frakcio, alie nefinia ĉena frankcio. La valoro de nefinia ĉena frakcio estas difinita kiel limeso de trunkitaj frakcioj, en kiuj la unuan, duan… subfrakcion anstataŭas nulo.

Ĉiuj reelaj nombroj estas prezenteblaj kiel regularaj ĉenaj frakcioj. racionalaj nombroj estas prezenteblaj per finiaj frakcioj, neracionalaj per nefiniaj. Regularan ĉenan frakcion por certa racia nombro eblas konstrui per la eŭklida algoritmo.

Ekzemplo de finia ĉenfrakcio

Aplikante la eŭklidan algoritmon al la frakcio 19/13 ni ricevas:

19 = 1 · 13 + 6

13 = 2 · 6 + 1

  6 = 6 · 1

Do la ĉen-frakciaj koeficientoj $b_{0}$, $b_{1}$ kaj $b_{2}$ estas 1, 2, 6:

$19/13=1+{\frac {6}{13}}=1+{\frac {1}{\frac {13}{6}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{6}}}}$