Kompleksa analitiko: Malsamoj inter versioj

[nekontrolita versio]

← Iru al antaŭa ŝanĝo Iru al sekvanta ŝanĝo →

Enhavo forigita Enhavo aldonita

Enteksta

Kiel registrite je 19:16, 21 dec. 2016

Kompleksa analitiko estas la branĉo de matematiko esploranta funkciojn de kompleksaj argumentoj. Ĝi havas praktikan uzon en aplika matematiko kaj en multaj aliaj branĉoj de matematiko. Kompleksa analitiko koncernas aparte analitikajn funkciojn de kompleksaj variabloj, sciatajn kiel holomorfaj funkcioj.

Kompleksaj funkcioj

Kompleksa funkcio estas funkcio en kiu la nedependa variablo kaj la dependa variablo estas ambaŭ kompleksaj nombroj. Pli detale, kompleksa funkcio estas funkcio difinita sur subaro de kompleksa ebeno kun kompleksaj valoroj.

Por kompleksa funkcio, ambaŭ la nedependa variablo kaj la dependa variablo povas esti apartigitaj enen de reela kaj imaginara partoj:

z=x+iy\,

kaj

w=f(z)=u+iv\,

,

kie

x,y,u,v\in \mathbb {R} .

La komponantoj de la funkcio,

u=u(x,y)\,

kaj

v=v(x,y)\,

,

povas esti interpretita kiel reel-valoraj funkcioj de la du reelaj variabloj $x\,$ kaj $y\,$ .

La vastigaĵo de reelaj funkcioj (eksponentaj funkcioj, logaritmoj, trigonometriaj funkcioj) al la kompleksa domajno estas ofte uzata kiel enkonduko al kompleksa analitiko.

Holomorfaj funkcioj

Holomorfaj funkcioj estas kompleksaj funkcioj difinitaj sur malfermita subaro de kompleksa ebeno kiu estas komplekse diferencialebla. Alivorte, ĉe ĉiuj punktoj $z_{0}$ la kompleksa limeso

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}},z\in \mathbb {C}$

konverĝas. Kompleksa diferencebleco havas multajn pli fortajn konsekvencojn ol reela diferencebleco. Ekzemple, holomorfaj funkcioj estas malfinie diferencialeblaj, kvankam reela diferencialeblaj funkcioj povas esti aŭ ne esti malfinie diferencialeblaj. Plej elementaj funkcioj, inkluzivanta la eksponentan funkcion, la trigonometriajn funkciojn, kaj ĉiujn polinomajn funkciojn, estas holomorfaj.

Historio

Kompleksa analitiko estas unu de la klasikaj branĉoj de matematiko kun ĝiaj radikoj en la 19-a jarcento kaj fino de la 18-a jarento. Gravaj nomoj estas Euler (Eŭlero), Gauss (Gaŭso), Riemann (Rimano), Koŝio (Cauchy), Weierstrass, kaj multaj aliaj en la 20-a jarcento. Tradicie, kompleksa analitiko, aparte la teorio de konformaj bildigoj, havas multajn aplikojn en inĝenierarto, kaj ĝi ankaŭ havas vastajn aplikojn en analitika nombroteorio. Lastatempe, ĝi fariĝis tre populara helpe de kompleksa dinamiko kaj la fraktalaj produktitaj per ripetantaj holomorfaj funkcioj, el kiuj la plej populara estas la Aro de Mandelbrot. Alia grava apliko de kompleksa analitiko estas en kordoteorio studante konformaj invariantoj en kvantuma kampa teorio.

Vidu ankaŭ

Ĉi tiu artikolo enhavas dume forkomentitajn partojn de la teksto, ĉar ili ankoraŭ ne estas sufiĉe bonaj. Vi povas redakti la paĝon kaj plibonigi kaj malkomenti la forkomentitajn partojn.

@@ Linio 22: / Linio 22: @@
 == Holomorfaj funkcioj ==
-Holomorfaj funkcioj estas kompleksaj funkcioj difinitaj sur [[Malfermita aro|malfermita subaro]] de kompleksa ebeno kiu estas diferencialebla. Kompleksa diferencebleco havas multajn pli fortajn konsekvencojn ol reela diferencebleco. Ekzemple, holomorfaj funkcioj estas malfinie diferencialeblaj, kvankam reela diferencialeblaj funkcioj povas esti aŭ ne esti malfinie diferencialeblaj. Plej elementaj funkcioj, inkluzivanta la [[eksponenta funkcio|eksponentan funkcion]], la [[Trigonometria funkcio|trigonometriajn funkciojn]], kaj ĉiujn [[Polinomo|polinomajn funkciojn]], estas holomorfaj.
+Holomorfaj funkcioj estas kompleksaj funkcioj difinitaj sur [[Malfermita aro|malfermita subaro]] de kompleksa ebeno kiu estas komplekse diferencialebla.  Alivorte, ĉe ĉiuj punktoj <math>z_0</math> la kompleksa limeso
+<blockquote><math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},z\in
+\mathbb{C}</math></blockquote>
+konverĝas.
+Kompleksa diferencebleco havas multajn pli fortajn konsekvencojn ol reela diferencebleco. Ekzemple, holomorfaj funkcioj estas malfinie diferencialeblaj, kvankam reela diferencialeblaj funkcioj povas esti aŭ ne esti malfinie diferencialeblaj. Plej elementaj funkcioj, inkluzivanta la [[eksponenta funkcio|eksponentan funkcion]], la [[Trigonometria funkcio|trigonometriajn funkciojn]], kaj ĉiujn [[Polinomo|polinomajn funkciojn]], estas holomorfaj.
 <!--
@@ Linio 36: / Linio 40: @@
 Ĝi estas ankaŭ aplikis en multaj (subjektoj, subjektas) (rekte tra, entute) inĝenierado, aparte en pova inĝenierado.
+-->
 == Historio ==
-Kompleksa analitiko estas unu de la klasika (branĉoj, aloj) en matematiko kun ĝia (radikoj, radikas) en la 19-a jarcento kaj iu (ebena, para) antaŭ. Grava (nomoj, nomas) estas Eŭlero, [[Carl Friedrich Gauss|Gaŭso]], Rimano, Koŝio, Weierstrass-a, kaj multaj pli en la 20-a jarcento. Tradicie, kompleksa analitiko, en aparta la teorio de konforma (ĵetoj, ĵetas, bildigoj, bildigas), havas multaj aplikoj en inĝenierado, sed ĝi estas ankaŭ uzis (rekte tra, entute) analitika [[nombroteorio]]. En moderna (tempoj, tempas), ĝi iĝis tre populara tra nova _boost_ de [[kompleksa dinamiko]] kaj la (bildoj, bildas) de [[Fraktalo|(fraktaloj, fraktalas)]] produktita per ripetantaj holomorfaj funkcioj, la plej populara estante la [[Mandelbrot-a aro]]. Alia grava apliko de kompleksa analitiko hodiaŭ estas en [[teorio de kordoj]] kiu estas konforme invarianta kvantuma kampa teorio.
+Kompleksa analitiko estas unu de la klasikaj branĉoj de matematiko kun ĝiaj radikoj en la 19-a jarcento kaj fino de la 18-a jarento. Gravaj nomoj estas [[Leonhard Euler|Euler (Eŭlero)]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss (Gaŭso)]], [[Bernhard Riemann|Riemann (Rimano)]], [[Augustin_Louis_Cauchy|Koŝio (Cauchy)]], [[Karl Weierstrass|Weierstrass]], kaj multaj aliaj en la 20-a jarcento. Tradicie, kompleksa analitiko, aparte la teorio de konformaj bildigoj, havas multajn aplikojn en [[inĝenierarto]], kaj ĝi ankaŭ havas vastajn aplikojn en analitika [[nombroteorio]].  Lastatempe, ĝi fariĝis tre populara helpe de [[kompleksa dinamiko]] kaj la [[Fraktalo|fraktalaj]] produktitaj per ripetantaj holomorfaj funkcioj, el kiuj la plej populara estas la [[Aro de Mandelbrot]]. Alia grava apliko de kompleksa analitiko estas en [[kordoteorio]] studante konformaj invariantoj en [[kvantuma kampa teorio]].
--->
 == Vidu ankaŭ ==
 * [[Analitika funkcio]]