Asocieca alĝebro

Ĉi tiu artikolo estas pri aparta speco de vektora spaco. Por aliaj uzadoj de la termino "algebro" vidu: algebro (apartigilo).

En matematiko, asocieca algebro estas vektora spaco (aŭ pli ĝenerale, modulo (modela teorio)) kiu ankaŭ permesas la multiplikon de vektoroj en distribueca kaj asocieca maniero. Ili estas tial specialaj alĝebroj. (Kelkfoje nomataj "algebro" aŭ "algebrao" anstataŭ "alĝebro".)

Difino

Asocieca alĝebro A super kampo K estas difinita kiel vektora spaco super K kaj ankaŭ K-dulineara multipliko A x A → A (kie la bildo de (x,y) estas skribita kiel xy) tia, ke la asocieca leĝo validas:

• (x y) z = x (y z) por ĉiuj x, y kaj z en A.

La dulineareco de la multipliko povas esti esprimita kiel

• (x + y) z = x z + y z    por ĉiuj x, y, z en A,
• x (y + z) = x y + x z    por ĉiuj x, y, z en A,
• a (x y) = (a x) y = x (a y)    por ĉiuj x, y en A kaj a en K.

Se A enhavas identan eron, kio estas ero 1 tia ke 1x = x1 = x por ĉiuj x en A, tiam A estas 'asocieca alĝebro kun unuo aŭ unuohava (aŭ unuargumenta) asocieca alĝebro. Tia alĝebro estas ringo, kaj enhavas ĉiujn erojn a de la kampo K per identigo kun a1.

La antaŭvenanta difino ĝeneraliĝas sen iu ajn ŝanĝo al alĝebro super komuta ringo K (escepte, ke K-lineara spaco estas tiam nomita modulo (modela teorio) kaj ne vektora spaco). Vidu alĝebro (ringa teorio) por pli.

La dimensio de la asocieca alĝebro A super la kampo K estas ĝia dimensio kiel K-vektora spaco.

Ekzemploj

• La n-per-n kvadrataj matricoj kun elementoj de la kampo K formas unuargumentan asociecan alĝebron super K.
• La kompleksaj nombroj formas 2-dimensian unuargumentan asociecan alĝebron super la reelaj nombroj.
• La kvaternionoj formas 4-dimensian unuohavan asociecan alĝebron super la reelaj nombroj (sed ne alĝebro super la kompleksaj nombroj, ĉar kompleksaj nombroj ne komutiĝas kun kvaternionoj).
• La polinomoj kun reelaj koeficientoj formas unuargumentan asociecan alĝebron super la reelaj nombroj.
• Por donita iun ajn banaĥa spaco X, la kontinuaj linearaj operatoroj A : X → X formas unuargumentan asociecan alĝebron (uzante komponaĵo de operatoroj kiel multipliko); ĉi tio estas banaĥa alĝebro.
• Por donita iun ajn topologia spaco X, la kontinua reelo-valoraj (aŭ komplekso-valoraj) funkcioj sur X formas reelan (aŭ kompleksan) unuargumentan asociecan alĝebron; ĉi tie oni adiciu kaj multipliku funkciojn punktlarĝe.
• Ekzemplo de ne-unuargumenta asocieca alĝebro estas tiu donita per la aro de ĉiuj funkcioj f: R → R kies limigo kiam x proksimiĝas malfinion estas nulo.
• La alĝebroj de Clifford estas utilaj en geometrio kaj fiziko.
• incida alĝebroj de loke finia parte ordaj aroj estas unuargumentaj asociecaj alĝebroj konsideritaj en kombinatoriko.

alĝebraj homomorfioj

Se A kaj B estas asociecaj alĝebroj super la sama kampo K, alĝebra homomorfio h: A → B estas K-lineara surĵeto kiu estas ankaŭ multiplika en la senco, ke h(xy) = h(x) h(y) por ĉiuj x, y en A. Kun ĉi tiu nocio de strukturkonservanta transformo, la klaso de ĉiuj asociecaj alĝebroj super K iĝas kategoriojn.

Prenu ekzemple la alĝebron A de ĉiuj reel-valoraj kontinuaj funkcioj R → R, kaj B = R. Ambaŭ estas alĝebroj super R, kaj la bildigo kiu asignas al ĉiu kontinua funkcio f la nombron f(0) estas alĝebra homomorfio de A al B.

Indekso-libera skribmaniero

En la pli supre difino de asocieca alĝebro, la difino de asocieco estis farita kun pritakso al ĉiuj eroj de A. Estas fojfoje pli oportune havi difinon de asocieco, en kiu ne bezonas mencii la erojn de A. Tio povas esti farita kiel sekvas. alĝebro estas difinita kiel bildigo M (multipliko) sur vektora spaco A:

$M:A\times A\rightarrow A$

Asocieca alĝebro estas alĝebro kie la bildigo M havas la propraĵon

$M\circ ({\mbox{Id}}\times M)=M\circ (M\times {\mbox{Id}})$

Ĉi tie, la simbolo $\circ$ signifas funkcian komponaĵon, kaj Id estas la identa surĵeto: Id(x)=x por ĉiuj x en A. Por vidi la ekvivalenton de la difinoj, necesas nur kompreni, ke ĉiu flanko de ĉi ekvacio estas funkcio, kiu havas tri argumentojn. Ekzemple, la maldekstra flanko funkcias kiel

$(M\circ ({\mbox{Id}}\times M))(x,y,z)=M(x,M(y,z))$

Simile, unuohava asocieca alĝebro povas esti difinita pere de unita bildigo

$\eta :K\rightarrow A$

kiu havas la propraĵon

$M\circ ({\mbox{Id}}\times \eta )=s=M\circ (\eta \times {\mbox{Id}})$

Ĉi tie, la unua bildigo Η prenas eron k en K al la ero k1 en A, kie 1 estas la unua ero de A. La bildigo s estas nur simple skalara multipliko: $s:K\times A\rightarrow A$; tial, la pli supre idento estas kelkfoje skribita kun Id anstataŭanta s, kun skalara multipliko implice komprenita.

Ĝeneraligoj

Oni povas konsideri asociecajn alĝebrojn super komuta ringo R: ĉi tiuj estas moduloj super R kaj ankaŭ R-dulineara bildigo, kiu produktas asociecan multiplikon. En tiu kazo, unuohava R-alĝebro A povas ekvivalente esti difinita kiel ringo A kun ringa homomorfio R→A.

La n×n matricoj kun entjeraj elementoj formas asociecan alĝebron super la entjeroj. La polinomoj kun koeficientoj en la ringo Z/nZ (vidu modula aritmetiko) formas asociecan alĝebron super Z/nZ.

Koalĝebro

Asocieca unuohava alĝebro super K estas bazita sur strukturkonservanta transformo A×A→A havanta 2 enigojn (multiplikanton kaj multiplikaton) kaj unu eligon (produton), kaj ankaŭ strukturkonservanta transformo K→A identiganta la skalarajn oblojn de la multiplika unuo. Tiuj du strukturkonservantaj transformoj povas esti dualigitaj uzante kategorian duvariantecon per dorsflankigo de ĉiuj sagoj en la komutaj figuroj kiuj priskribas la algebrajn aksiomojn; ĉi tiu difinas la strukturon de koalĝebro.

Estas ankaŭ abstrakta nocio de F-koalĝebro.

Prezentoj

Grupa prezento de alĝebro estas lineara surĵeto $\rho :A\rightarrow gl(V)$ de A al la ĝenerala lineara alĝebro de iu vektora spaco (aŭ modulo) V, kiu konfitas la multiplika operacio: tio estas, $\rho (xy)=\rho (x)\rho (y)$. Notu, tamen, ke estas nenature difini tensoran produton de prezentoj de asociecaj alĝebroj, sen iel altrudi aldonajn kondiĉojn. Ĉi tie, per tensora produto de prezentoj, la kutima signifo estas intencita: la rezulto devus esti lineara prezento sur la produta vektora spaco. Altrudi tian aldonan strukturon tipe kondukas al la ideo de Hopf-alĝebro aŭ Lie-alĝebro, kiel demonstraciiĝas sube.

Motivado por Hopf-alĝebro

Konsideru, ekzemple, du prezentojn $\sigma \colon A\rightarrow gl(V)$ kaj $\tau :A\rightarrow gl(W)$. Oni povus provi formi tensoran produtan prezenton $\rho \colon x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes \tau (x)$ laŭ kiel ĝi agas sur la produta vektora spaco, tiel ke

$\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w))$

Tamen, tia bildigo ne povas esti lineara, ĉar oni devus havi

$\rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)$

por $k\in K$. Oni povas savi ĉi tiun provon kaj restaŭri linearecon per altrudo de aldona strukturo, per difino de bildigo $\Delta :A\rightarrow A\times A$, kaj difini la tensoran produtan prezenton kiel

$\rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta$

Ĉi tie, Δ estas komultipliko. La rezultanta strukturo estas nomita dualĝebro. Por esti konsekvenca kun la difinoj de la asocieca alĝebro, la koalĝebro devas esti koasocieca, kaj, se la alĝebro estas unuohava, la koalĝebro ankaŭ devas esti unuohava. Notu, ke la difino de dualĝebroj ne rilatas multiplikon kun kunmultiplikon; kelkfoje, ili rilatiĝas per antipodo, tial formante Hopf-alĝebron.

Motivado por Lie-alĝebro

Oni povas provi esti pli lerta dum difinanta tensora produto. Konsideru, ekzemple,

$x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)$

tiel ke la ago sur la tensora produta spaco estas donita per

$\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)$.

Ĉi tiu bildigo estas klare lineara en x, kaj tiel ĝi ne havas la problemon de la pli frua difino. Tamen, ĝi povas ne konformi al la multiplika aksiomo. Laŭ la difino de $\rho$,

$\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)$.

Sed

$\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)$.

La du esprimoj povas esti malsamaj. Tamen, la du devas esti egala se la produto xy estas malsimetria (se la produto estas la lie-krampo, tio estas, $xy\equiv M(x,y)=[x,y]$), tial farante Lie-alĝebron el asocieca alĝebro.

Referencoj

• Ross Street, Kvantumaj grupoj: eneniro al moderna algebro (1998). (Provizas bonan ĝeneralan priskribon de indekso-libera skribmaniero)