Kompleksa analitiko

Kompleksa analitiko estas la branĉo de matematiko esploranta funkciojn de kompleksaj argumentoj. Ĝi havas praktikan uzon en aplika matematiko kaj en multaj aliaj branĉoj de matematiko. Kompleksa analitiko koncernas aparte analitikajn funkciojn de kompleksaj variabloj, sciatajn kiel holomorfaj funkcioj.

Kompleksaj funkcioj

Kompleksa funkcio estas funkcio en kiu la nedependa variablo kaj la dependa variablo estas ambaŭ kompleksaj nombroj. Pli detale, kompleksa funkcio estas funkcio difinita sur subaro de kompleksa ebeno kun kompleksaj valoroj.

Por kompleksa funkcio, ambaŭ la nedependa variablo kaj la dependa variablo povas esti apartigitaj enen de reela kaj imaginara partoj:

$z=x+iy\,$ kaj

$w=f(z)=u+iv\,$,

kie $x,y,u,v\in \mathbb {R} .$

La komponantoj de la funkcio,

$u=u(x,y)\,$ kaj

$v=v(x,y)\,$,

povas esti interpretita kiel reel-valoraj funkcioj de la du reelaj variabloj $x\,$ kaj $y\,$.

La vastigaĵo de reelaj funkcioj (eksponentaj funkcioj, logaritmoj, trigonometriaj funkcioj) al la kompleksa domajno estas ofte uzata kiel enkonduko al kompleksa analitiko.

Holomorfaj funkcioj

Holomorfaj funkcioj estas kompleksaj funkcioj difinitaj sur malfermita subaro de kompleksa ebeno kiu estas komplekse diferencialebla. Alivorte, ĉe ĉiuj punktoj $z_{0}$ la kompleksa limeso

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}},z\in \mathbb {C}$

konverĝas. Kompleksa diferencebleco havas multajn pli fortajn konsekvencojn ol reela diferencebleco. Ekzemple, holomorfaj funkcioj estas malfinie diferencialeblaj, kvankam reela diferencialeblaj funkcioj povas esti aŭ ne esti malfinie diferencialeblaj. Plej elementaj funkcioj, inkluzivanta la eksponentan funkcion, la trigonometriajn funkciojn, kaj ĉiujn polinomajn funkciojn, estas holomorfaj.

Majoraj rezultoj

Centrala ilo en kompleksa analitiko estas la voja integralo. La plej baza rezulto estas la Koŝia integrala teoremo: Se $D\subset \mathbb {C}$ estas simple koneksa, $\gamma \subset D$ estas fermita vojo, kaj $f:D\to \mathbb {C}$ estas holomorpfa funkcio, tiam

$\int _{\gamma }f(z)dz=0.$

Oni povas komputi la valoroj de holomorfa funkcio ene disko per certa voja integralo sur la diska rando (Koŝia integrala formulo).

Liouville-a teoremo implicas ke barita funkcio holomorfa en la tuta kompleksa ebeno devas esti konstanto. Ĉi tiu teoremo provizas naturan kaj mallongan pruvo de la fundamenta teoremo de algebro; kampo de kompleksaj nombroj estas algebre fermita.

Grava propraĵo de holomorfaj funkcioj estas ke se holomorfa funkcio estas difinita sur simple koneksa domajno tiam ĝiaj valoroj estas plene difinitaj per ĝiaj valoroj sur ĉiu pli malgranda subdomajno. Oni diras ke la funkcio sur la pli granda domajno estas analitike daŭrigita de ĝiaj valoroj sur la pli malgranda domajno. Ĉi tiu permesas la vastigaĵo de la difino de funkcioj kiel la Rimana ζ funkcio kiuj estas komence difinitaj per malfiniaj sumoj konverĝintaj nur sur malgrandaj domajnoj al preskaŭ la tuta kompleksa ebeno. Iam, ekzemple la natura logaritmo, ne eblas analitike daŭrigi holomorfan funkcion al ne-simple koneksa domajno en la kompleksa ebeno sed eblas etendi ĝin al holomorfa funkcio sur proksime rilatantan surfacon sciatan kiel Rimana surfaco.

Estas ankaŭ tre riĉa teorio de kompleksa analitiko en pli ol unu kompleksa dimensio kie oni ankoraŭ havas la analitikaj propraĵoj kiel potencoseria presento, sed multaj de la geometriaj propraĵoj de holomorfaj funkcioj en unu kompleksa dimensio ne veras, aŭ estas multe pli komplika. Ekzemple la Rimana bildiga teoremo, eble la plej grava teoremo en unu-dimensia teorio, ne veras. Sed oni ne nur perdas, oni ankaŭ gajnas ekzemple la teoremo de Hartogs, ke ĉiu holomorfa funcio en pli ol unu dimensio analitike daŭras tra kompakta subaro.

Historio

Kompleksa analitiko estas unu de la klasikaj branĉoj de matematiko kun ĝiaj radikoj en la 19-a jarcento kaj fino de la 18-a jarento. Gravaj nomoj estas Euler (Eŭlero), Gauss (Gaŭso), Riemann (Rimano), Cauchy (Koŝio), Weierstrass, kaj multaj aliaj en la 20-a jarcento. Tradicie, kompleksa analitiko, aparte la teorio de konformaj bildigoj, havas multajn aplikojn en inĝenierarto, kaj ĝi ankaŭ havas vastajn aplikojn en analitika nombroteorio. Lastatempe, ĝi fariĝis tre populara helpe de kompleksa dinamiko kaj la fraktalaj produktitaj per ripetantaj holomorfaj funkcioj, el kiuj la plej populara estas la Aro de Mandelbrot. Alia grava apliko de kompleksa analitiko estas en kordoteorio studante konformaj invariantoj en kvantuma kampa teorio.

Vidu ankaŭ

• Analitika funkcio
• Holomorfa fasko
• Vektora pakaĵo
• Kelkaj kompleksaj variabloj
• Runge-a teoremo
• Listo de kompleksaj analitikaj temoj