Rando (topologio)

Por samtitola artikolo vidu la paĝon Sudafrika rando.

Aro en Eŭklida ebeno $\mathbb {R} ^{2}$: rando (malhele blua) kaj malfermaĵo (hele verdblua)

En topologio, rando de subaro S de topologia spaco X estas aro de punktoj kiuj kuŝas inter la “ekstero” (komplemento de fermitaĵo) kaj la “interno” (malfermitaĵo) de S. Pli formale, rando estas aro de punktoj en la fermaĵo de S, ne apartenanta al la malfermaĵo de S. Ĉiu punkto en la rando de S estas randa punkto de S. Skribmanieroj uzata por rando de aro S estas bd(S), fr(S), ∂S.

Difino

Supozu topologian spacon $X$ kaj ĝian subaron $S\subseteq X$. Jen kelkaj ekvivalentaj difinoj de la rando de $S$:

• La aro de punktoj p de X tiaj, ke ĉiu ĉirkaŭaĵo de p enhavas almenaŭ unu punkto de S kaj almenaŭ unu punkton ne de S.
• La fermaĵo ${\bar {S}}$ de S minus la mafermaĵo $S^{\circ }$ de S:
• $\partial S={\bar {S}}\setminus S^{\circ }$.
• La komunaĵo de la fermaĵo de S kun la fermaĵo de ĝia komplemento:

  $\partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}$.

Propraĵoj

• La rando de aro estas fermita aro.
• La rando de aro estas la rando de la komplemento de la aro: $\partial S=\complement \partial S$.
• p estas randa punkto de aro se kaj nur se ĉiu najbaraĵo de p enhavas almenaŭ unu punkton en la aro kaj almenaŭ unu punkton ne en la aro.
• Aro estas fermita aro se kaj nur se ĝi enhavas sian randon, kaj malfermita aro se kaj nur se ĝi estas senkomunaĵa kun ĝia rando.
• La fermaĵo de aro egalas la kunigaĵon de la aro kun ĝia rando.

  ${\bar {S}}=S\cup \partial S$

• La rando de aro estas malplena aro se kaj nur se la aro estas fermito-malfermita aro.
• En la eŭklida spaco $\mathbb {R} ^{n}$, ĉiu fermita aro estas la rando de iu aro.

Rando de rando

Por ĉiu aro S,

∂S ⊇ ∂∂S,

kun egaleco se kaj nur se la rando de S ne havas internajn punktojn; ĉi tio estas ĉiam vera se S estas fermita aŭ malfermita.

Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita,

∂∂S = ∂∂∂S

por ĉiu aro S.

Ekzemploj

Konsideru la reelan linion $\mathbb {R}$ kun la kutima topologio (t.e. la topologio kies bazaj aroj estas malfermitaj intervaloj). Do:

• $\partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}$
• $\partial \varnothing =\varnothing$
• $\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R}$ ($\mathbb {Q}$ estas la subaro de la racionalaj nombroj)
• $\partial {\big (}\mathbb {Q} \cap [0,1]{\big )}=[0,1]$

La lastaj du ekzemploj ilustras tion, ke la rando de densa aro kun malplena mafermaĵo estas ĝia fermaĵo.

Netriviala subaro, kies rando estas malplena

En la spaco $\mathbb {Q}$ de racionalaj nombroj kun la kutima topologio (la subspaca topologio de $\mathbb {R}$), la rando de la aro de nombroj, kies la kvadrato estas malpli ol 2 estas malplena, ĉar la √2 ne apartenas al la spaco.

Dependeco de la rando laŭ la topologio

La rando de aro estas topologia nocio kaj povas ŝanĝiĝi se ŝanĝiĝas la topologio. Ekzemple, por la kutima topologio sur $\mathbb {R} ^{2}$, la rando de fermita disko

Ω={(x, y): x²+y² ≤ 1}

estas la cirklo ĉirkaŭ la disko:

∂Ω = {(x, y) | x²+y² = 1}.

Se la sama disko estas vidata kiel aro en $\mathbb {R} ^{3}$ kun ĝia kutima topologio, kiel

Ω={(x, y, 0): x²+y² ≤ 1},

do la rando de la disko estas la tuta disko mem:

∂Ω = Ω.

Se la disko estas vidata kiel la tuta topologia spaco, tiam la rando de la disko estas malplena:

∂Ω = ∅.

Vidu ankaŭ

• Fermita aro
• Malfermita aro
• Fermito-malfermita aro
• Fermaĵo
• Limiga punkto
• Topologia spaco
• Komplemento (matematiko)