Elipsoido

3D bildiganta de elipsoido

En matematiko, elipsoido estas tipo de kvadrika tio estas pli alta dimensia analoga de elipso. La ekvacio de norma elipsoido en x-y-z Kartezia koordinato estas

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$

kie a, b kaj c (la (longoj, longas) de la tri duone-(hakiloj, hakas)) estas (fiksita, neŝanĝebligita) pozitivaj reelaj nombroj (determinanta, difinanta) la formo de la elipsoido. Se du de tiuj nombroj estas egala, la elipsoido estas _spheroid_; se ĉiuj tri estas egala, ĝi estas sfero.

Se ni alpreni ≥ b ≥ c, tiam kiam:

• ≠ b ≠ c ni havi skalena elipsoido
• c = 0 ĝi estas elipso
• > b = c la elipsoido estas etendita _spheroid_ (cigaro-formis)
• c < = b ĝi's (nomita, vokis) _oblate_ _spheroid_ (disko-formis)
• b = = c ni havi sfero, kiel _aforementioned_

_Parametrisation_

Elipsoido povas esti parametrigita per:

$x=a\,\sin \phi \cos \theta$

$y=b\,\sin \phi \sin \theta$

$z=c\,\cos \phi$

$0\leq \theta <2\pi$

$0\leq \phi \leq \pi$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu _parametrisation_ estas ne 1-1 je la punktoj kie $\phi =0,\pi$.

Volumeno

La volumeno de elipsoido estas donita per:

${\frac {4}{3}}\pi abc$

Surfaca areo

La surfaca areo de elipsoido estas donita per:

$2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)$

kie

$m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}$

$\theta =\arcsin {\left(e\right)}$

$e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}$

kaj $F(\theta ,m)$ kaj $E(\theta ,m)$ estas la nekompletaj elipsaj integraloj de la unua kaj (sekundo, dua) speco.

Akurataj formuloj estas:

Se (plata, apartamento): $=2\pi \left(ab\right)$

Se etendita: $=2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)$

Se _oblate_: $=2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)$

Aproksimi formulo estas:

Se skalena: $\approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}$

Kie p ≈ 1.6075 rendimenta relativa eraro de maksimume 1.061% (_Knud_ _Thomsen_'s formulo); valoro de p = 8/5 = 1.6 estas (optima, optimala) por proksime sfera (elipsoidoj, elipsoidas), kun relativa eraro de maksimume 1.178% (Davido W. _Cantrell_'s formulo).

Linearaj transformoj

Se unu aplikas inversigebla lineara transformo al sfero, unu ricevas elipsoido; ĝi povas esti aĉetita enen la pli supre normo (formo, formi) per taŭgi turnado, konsekvenco de la spektra teoremo. Se la lineara transformo estas (prezentita, prezentis) per simetria 3-per-3 matrico, tiam la (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de la matrico estas perpendikulara (pro al la spektra teoremo) kaj prezenti la (direktoj, instrukcio) de la (hakiloj, hakas) de la elipsoido: la (longoj, longas) de la _semiaxes_ estas donita per la (ajgenoj, ajgenas).

La komunaĵo de elipsoido kun ebeno estas malplena, sola punkto aŭ elipso.

Unu povas ankaŭ difini (elipsoidoj, elipsoidas) en pli altaj dimensioj, kiel la bildoj de sferoj sub inversigeblaj linearaj transformoj. La spektra teoremo povas denove kutimi ricevi norma ekvacio _akin_ al la unu donita pli supre.

Ova formo

La formo de ovo estas proksimume _oblate_ elipsoido, sed, dum konservanta cilindra simetrio, estas netute simetrio en ebeno (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la longa akso. La (termo, membro, flanko, termino) ovo-formis estas tipe uzita prenante ĉi tiu nesimetrio enen (konto, kalkulo), sed ĝi (majo, povas) ankaŭ simple (meznombro, signifi) _oblate_ elipsoido. Ĝi povas ankaŭ esti uzita por 2D formo. Vidi ankaŭ ovalo (geometrio).

Vidi ankaŭ

• _Spheroid_
• paraboloido
• hiperboloido
• referenca elipsoido