Matrico de Hesse

Ŝablono:Polurinda movu En matematiko, la matrico de Hessian estas kvadrata matrico de duaj partaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio. Por reelo-valora funkcio

f(x₁, x₂, ..., x_n),

se ĉiuj parta duaj derivaĵoj de f ekzistas, la matrico de Hessian de f estas matrico

H(f)_ij(x) = D_i D_j f(x)

kie x = (x₁, x₂, ..., x_n). Tio estas,

$H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}$

(Miksita, Miksis) derivaĵoj kaj simetrio de la Hessian-a

La (miksita, miksis) derivaĵoj de f estas la elementoj for la ĉefa diagonalo en la Hessian-a. Ofte, la (mendi, ordo) de diferencialado ne (materio, afero). Ekzemple,

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$

Ĉi tiu povas ankaŭ esti skribita kiel:

$\partial _{xy}f=\partial _{yx}f$

En formala (propozicio, frazo, ordono): se la (sekundo, dua) derivaĵoj de f estas ĉiuj kontinua en regiono D, tiam la Hessian-a de f estas simetria matrico (rekte tra, entute) D; vidi simetrio de duaj derivaĵoj.

Kritikaj punktoj kaj diskriminanto

Se la gradiento de f (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro (senso, senco)) estas nulo je iu punkto x, tiam f havas kritika punkto je x. La determinanto de la Hessian-a je x estas tiam (nomita, vokis) la diskriminanto. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam x estas (nomita, vokis) degeneri kritika punkto de f. Alie ĝi estas ne degeneri.

Dua derivaĵa provo

Jena provo povas esti aplikita je ne-degeneri kritika punkto x. Se la Hessian-a estas pozitiva definitiva je x, tiam f atingas loka minimumo je x. Se la Hessian-a estas negativa definitiva je x, tiam f atingas loka maksimumo je x. Se la Hessian-a havas ambaŭ pozitiva kaj negativa (ajgenoj, ajgenas) tiam x estas (selo, seli) punkto por f (ĉi tiu estas vera eĉ se x estas degeneri). Alie la provo estas _inconclusive_.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) por pozitiva duondifina kaj negativa duondifina _Hessians_ la provo estas _inconclusive_. Tamen, pli povas esti dirita de la punkto de vido de Morsa teorio.

En vido de kio havas (justa, ĵus) estas dirita, la dua derivaĵa provo por funkcioj de unu kaj du (variabloj, variablas) estas simpla. En unu (variablo, varianta), la Hessian-a enhavas nur unu (sekundo, dua) derivaĵo; se ĝi's pozitiva tiam x estas loka minimumo, se ĝi's negativa tiam x estas loka maksimumo; se ĝi's nulo tiam la provo estas _inconclusive_. En du (variabloj, variablas), la diskriminanto povas esti uzita, ĉar la determinanto estas la (produkto, produto) de la (ajgenoj, ajgenas). Se ĝi estas pozitiva tiam la (ajgenoj, ajgenas) estas ambaŭ pozitiva, aŭ ambaŭ negativa. Se ĝi estas negativa tiam la du (ajgenoj, ajgenas) havi malsamaj signoj. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo estas _inconclusive_.

Vektoro-valoraj funkcioj

Se f estas anstataŭe vektoro-valora, kio estas

f=(f₁, ..., f_n),

tiam la tabelo de (sekundo, dua) partaj derivaĵoj estas ne matrico, sed tensoro de rango 3.