Polinomo de Legendre

Polinomo de Legendre estas polinomoj kiuj estas difine per formulo (Rodriguesa) :

$P_{n}={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,\ldots )$

aŭ en publika formo:

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{i}{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.$

Genera funkcio

Polinomoj de Legendre estas koeficientojn en serio de Maclaurin de funkcio $G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}$, do estas formulo:

$G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(x)t^{l}$

Atributoj de polinomoj

• rikura formulo: $P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\ldots )$
• ortogonalo en intervalo [-1,1] kun p(x)=1

Ekzemploj de polinomoj

n	$P_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$x\,$
2	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,$
3	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,$
4	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,$
5	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,$
6	${\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,$
7	${\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,$
8	${\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,$
9	${\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,$
10	${\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,$

Skemoj

Vidu ankaŭ

• Akompanaj funkcioj de Legendre