Matrico de Hesse: Malsamoj inter versioj

El Vikipedio, la libera enciklopedio
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
Enhavo forigita Enhavo aldonita
eNeniu resumo de redakto
Linio 39: Linio 39:
Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hesse la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de [[morsa teorio]].
Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hesse la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de [[morsa teorio]].


La dua derivaĵa provo]por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. En unu variablo, la matrico de Hesse enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam ''x'' estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam ''x'' estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton. En du variabloj, la diskriminanto povas esti uzata, ĉar la determinanto estas produto de la ajgenoj. Se ĝi estas pozitiva tiam la ajgenoj estas ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Se ĝi estas negativa tiam la du ajgenoj havas malsamajn signojn. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.
La dua derivaĵa provo por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. Por unu variablo, la matrico de Hesse enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam ''x'' estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam ''x'' estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton.
Por funkcio de du variabloj oni povas ne zorgi pri trovo de la [[ajgeno]]j, sed simple uzi la diskriminanton, ĉar por 2x2-matrico la determinanto ĉiam estas produto de la ajgenoj. Se ĝi estas pozitiva, do la ajgenoj estas ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Tiam oni povas rigardi la signon de iu dua derivaĵo kaj konkludi, ĉu la punkto estas maksimumo aŭ minimumo. Se ĝi estas negativa, do la du ajgenoj havas malsamajn signojn, kaj sekve la punkto estas selo. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.


== Vektoro-valoraj funkcioj ==
== Vektoro-valoraj funkcioj ==

Kiel registrite je 04:01, 15 okt. 2009

En matematiko, la matrico de Hesse estas kvadrata matrico de duaj partaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio. Por reelo-valora funkcio

f(x1, x2, ..., xn),

se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de f ekzistas, la matrico de Hesse de f estas matrico

H(f)ij(x) = Di Dj f(x)

kie x = (x1, x2, ..., xn). Tio estas,

Miksitaj derivaĵoj kaj simetrio de la matrico

La miksitaj derivaĵoj de f estas la elementoj ne sur la ĉefa diagonalo en la matrico. Ofte, la ordo de diferencialado ne gravas. Ekzemple:

Ĉi tio povas ankaŭ esti skribita kiel:

Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de f estas kontinuaj en regiono D, do la matrico de Hesse de f estas simetria matrico en D. (Vidu en simetrio de duaj derivaĵoj.)

Kritikaj punktoj kaj diskriminanto

Se la gradiento de f (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto x, tiam f havas kritikan punkton je x. La determinanto de la matrico de Hesse je x estas tiam nomata kiel la diskriminanto. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam x estas degenera kritika punkto de f. Alie ĝi estas ne degenera.

Dua derivaĵa provo

Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera kritika punkto x. Se la matrico de Hesse estas pozitive difinita matrico je x, tiam f atingas lokan minimumon je x. Se la matrico de Hesse estas negative definita je x, tiam f atingas lokan maksimumon je x. Se la matrico de Hesse havas ambaŭ pozitivan kaj negativan ajgenojn tiam x estas sela punkto por f (ĉi tio estas vera eĉ se x estas degenera).

Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hesse la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de morsa teorio.

La dua derivaĵa provo por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. Por unu variablo, la matrico de Hesse enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam x estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam x estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton.

Por funkcio de du variabloj oni povas ne zorgi pri trovo de la ajgenoj, sed simple uzi la diskriminanton, ĉar por 2x2-matrico la determinanto ĉiam estas produto de la ajgenoj. Se ĝi estas pozitiva, do la ajgenoj estas aŭ ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Tiam oni povas rigardi la signon de iu dua derivaĵo kaj konkludi, ĉu la punkto estas maksimumo aŭ minimumo. Se ĝi estas negativa, do la du ajgenoj havas malsamajn signojn, kaj sekve la punkto estas selo. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.

Vektoro-valoraj funkcioj

Se f estas vektoro-valora, kio estas

f=(f1, ..., fn),

tiam la tabelo de duaj partaj derivaĵoj estas ne matrico sed tensoro de rango 3.

Vidu ankaŭ

  • Gradiento - vektoro de la unuaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio
  • Jakobia matrico - matrico de la unuaj derivaĵoj de vektoro-valora funkcio
  • Serio de Taylor - la matrico de Hesse aperas en serio de Taylor de funkcio de kelkaj variabloj