Hiperreela nombro

Sistemo de hiperreelaj nombroj estas rigora matematika maniero pritrakti infinitojn kaj infinetizimojn. Tiuj kvantoj estis vaste uzataj en matematiko kelkajn jarcentojn antaŭ enkonduko de la hiperreeloj, sed ilia uzo ĉiam estis pli intuicia ol matematike rigora. Pro disvolvoj de formala logiko dum 19-a kaj 20-a jarcentoj, oni povis difini kaj pritrakti ilin pli formale kaj rigore.

La aro de hiperreeloj (foje ankaŭ nomataj nenormaj reeloj) *R estas kampa vastigaĵo de la aro de reeloj R, kiu enhavas nombrojn pli grandajn ol iu difinita reelo. Do, aro de hiperreeloj enhavas nombron pli grandan ol io ajn de la formo

$1+1+\cdots +1.\,$

Tiu nombro estas la infinito, kaj ĝia inverto estas infinitezimo. La aro de hiperreeloj *R estas kunigo de aro R, aro de infinitoj kaj aro de infinitezimoj. Ĝi kongruas kun principo de transdono, laŭ kiu ĉiuj asertoj de unua-orda logiko, kiuj estas veraj por iu aro, ankaŭ veras por ĉiuj vastigaĵoj de la aro. Do, bazaj algebraj aksiomoj pri reeloj ankaŭ veras pri hiperreloj - ekzemple, komuteco, asocieco, distribueco ktp.

Ekde unuaj logikistoj de Antikva Grekio oni disputis, ĉu estas logike ĝuste uzi nefinitajn valorojn en argumentoj. Por eviti tian dubon, ekzemple, Eŭklido anstataŭigis tiajn pruvojn per aliaj teknikoj kiel metodo de elĉerpo En la 1960-aj jaroj Abraham Robinson pruvis, ke hiperreeloj estas logike konsistaj se kaj nur se tiaj estas la reeloj. Tio forigis dubojn kaj timojn pri uzebleco de hiperreeloj, se oni pritraktas ilin laŭ logikaj reguloj, kiujn Robinson difinis.

Apliko de la hiperreeloj kaj de principo de transdono en analitiko donis starton de nova branĉo de matematika teorio, la hiperreela analitiko. Multaj matematikistoj trovas ĝin pli logika, intuicia kaj komprenebla ol klasika reela analitiko.

La principo de transdono

La baza ideo pri hiperreeloj estas vastigi sistemon de reeloj R por formi sistemon *R, kiu enhavu reelojn, infinitojn kaj infinetizimojn, sed sen ŝanĝo de bazaj aksiomoj de algebro. Ĉiu aserto, kiu estas vera por ĉiu reelo, ankaŭ estu vera por hiperreeloj. Ekzemple, aksiomo "por ĉiu x, x + 0 = x" ankaŭ apliku, se x estas hiperreelo. Same aplikas aksiomoj, kiuj estas veraj por kelkaj reeloj, ekzemple "por ĉiuj reeloj x kaj y, xy = yx." La ebleco transdoni tiajn ecojn de reeloj al hiperreeloj nomiĝas principo de transdono.

Tamen, asertoj de formo "por iu aro de nombroj S..." ne nepre transdoniĝas. La asertoj, kiuj baziĝas sur kvantoroj super aroj (aŭ pli altnivelaj konstruoj super aroj, kiel funkcioj) ĝenerale malsamas inter reeloj kaj hiperreeloj. Tiaj logikaj asertoj, kiuj ne bezonas kvantoron super aro, nomiĝas asertoj de unua-orda logiko.

Ekzemple, en sistemo de hiperreeloj *R ekzistas elemento w, por kiu

$1<w,\quad 1+1<w,\quad 1+1+1<w,\quad 1+1+1+1<w,.\ldots$

por iu ajn nombro de 1-oj. Tamen, en R ne ekzistas tia elemento. Tio ĉi ne kontraŭdiras la principon de transdono, ĉar (ne)ekzisto de tia w ne povas esti esprimata per asertoj de unua-orda logiko.

Uzo en analitiko

Kalkulo kun algebraj funkcioj

Neformalaj skribmanieroj por nereelaj kvantoj uzeblis en klasika infinitezima kalkulo en du kuntekstoj: kiel infinitezimoj kiel dx kaj kiel simbolo ∞, uzata por infinito en limesoj, ekzemple, dum analizo de nepropra integralo.

Kiel ekzemplo de principo de transdono, aserto ke por ĉiu nenula reelo x, 2x≠x estas vera, kaj do ĝi estu vera ankaŭ por hiperreeloj. Do, oni ne povas uzi ĝeneralan simbolon, kiel ∞, por ĉiuj infinitoj en hiperreela sistemo, ĉar infinitoj kaj infinitezimoj malsamas je grando.

Same, la kvazaŭ-formulo 1/0 = ∞ iam okaze uzata en klasika kalkulo, estas nevalida, ĉar divizio je nulo ne estas difinita por reeloj kaj do ankaŭ ne estu difinita en sistemo de hiperreeloj. Pli rigora kaj ĝusta aserto estu ke se ε estas infinitezimo, do 1/ε estas infinito.

Por ĉiu hiperreela nombro x, oni difinas ĝian standardan parton, st x, kiel la unika reelo, kiu malsamas de ĝi nur je infinitezimo. Do, ekzemple, la derivaĵo de funkcio y(x) estu difinita ne kiel dy/dx sed kiel standarda parto de dy/dx.

Ekzemple, por derivaĵo f'(x) de funkcio f(x) = x², ni asumas dx estas infinitezimo. Do,

$f'(x)\,$	$=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot \mathrm {d} x+\mathrm {d} x^{2}-x^{2}}{\mathrm {d} x}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot \mathrm {d} x+\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} x}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left(2x+\mathrm {d} x\right)$
	$=2x\,$

Transcendaj funkcioj

Ĉar transcendaj funkcioj ne estas defineblaj per finia nombro de fundamentaj algebraj operacioj, la principo de transdono rekte ne aplikeblas al ili. Tamen oni povas konsideri funkciojn super hipereeloj kiel nefiniajn vicojn de reeloj, kiuj povas konverĝi aŭ ne konverĝi al iuj limesoj. Do, igas nature difni transcendajn funkciojn per popunkta apliko de la funkcio al ĉiuj membroj de la vico. Tio ebligas vastigi aplikeblon de transdona principo, por ke ĝi kovru vastan klason de funkcioj, rilatoj kaj aroj. Ekzemple, oni povas difini sistemon de hiperentjeroj laŭ difino de entjeroj, malgraŭ ke la principo de transdono per si mem ne aplikas al asertoj pri entjeroj.

Integraligo

Unu maniero difini difinitan integralon en sistemo de hiperreeloj estas proklami ĝin sumo sur latico a, a + dx, a + 2dx, ... a + ndx, kie dx estas infinitezimo, n estas nefinia hiperentjero, kaj soba kaj supra limoj de integraligo estas a kaj b = a + n dx.