Ordonombro

Dosiero:Omega-exp-omega.svg

Reprezentaĵo de ordinaloj ĝis ω^ω. Ĉiu turno de la spiralo reprezentas unu potencon de ω

En matematika aroteorio, numero, vicmontra nombro aŭ ordinalo estas tipo de ordo de plene ordigita aro. Plej kutime ili estas difinita kiel herede transitiva aro. Ordinaloj estas vastigo de aro de naturaloj, sed malsamaj de entjeroj kaj kardinalaj nombroj. Kiel por ĉiuj aliaj tipoj de nombroj, por ordinaloj estas difinitaj operacioj de adicio, multipliko kaj potenciigo.

Unue la koncepton de ordinalaj numeroj enkondukis Georg Cantor en 1897 por priskribi nefiniajn vicojn kaj klasi arojn laŭ teorio de ordo. Pli detaljn priskribojn de la sistemo donis Levy (1979) kaj Sacks (2003).

La finiaj ordinaloj (samkiel finiaj kardinaloj) estas naturaloj: 0, 1, 2, …, ĉar ĉiuj du ordoj de finia aro estas orde izomorfaj. La plej malgranda nefinia ordinalo ω estas identa kun plej malgranda nefinia kardinalo $\aleph _{0}$. Tamen, transfiniaj ordinaloj post ω havas fajnan distingon, kiun kardinaloj ne havas. Ekzemple, dum ekzistas nur unu nombrebla nefinia kardinalo $\aleph _{0}$, estas nefinie multe da nombreblaj nefiniaj ordinaloj:

ω, ω + 1, ω + 2, …, ω·2, ω·2 + 1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, ….

Malsimile al kardinaloj kaj aliaj nombraj sistemoj, en ordinaloj adicio kaj multipliko ne estas komutaj. Ekzemple, 1 + ω estas ω, sed ne ω + 1, kaj, simile, 2·ω estas ω, sed ne ω·2. Povo de aro de ĉiuj nombreblaj ordinaloj estas la unua nenombrebla ordinalo ω₁, kiu estas identa kun kardinalo $\aleph _{1}$ (la sekva post $\aleph _{0}$). Plene ordigitaj kardinaloj estas identaj kun iniaj komencaj ordinaloj, t.e. la plej malgrandaj ordinaloj de sama povo. Kiam oni parolas pri povo de ordinalo, oni parolas pri multaj-al-unu asocio inter ordinaloj kaj kardinaloj.

Ĝenerale, ĉiu ordinalo α estas la tipo de ordo de la aro de ordinaloj, strikte malpli grandaj ol α mem. Tiel ĉiu ordinalo povas esti reprezentita per aro de ĉiuj ordinaloj, malpli grandaj ol ĝi mem. Aro de ordinaloj povas estis apartigita je kategorioj: nulo, finiaj ordinaloj kaj limesaj ordinaloj de variaj kunfiniecoj. Se donata klaso de ordinaloj, oni povas difini la α-an membron de tiu ĉi klaso, t.e. oni povas numeri ilin. La klaso estas fermita kaj nebarita se ĝia indica funkcio estas kontinua kaj ne finiĝas. La Cantor-norma formo de ordinalo estas unika reprezentaĵo de iu ordinalo kiel finia sumo de ordinalaj potencoj de ω. Tamen, tiu ĉi notacio povas esti nekonsista pro tiaj memreferencaj reprezentaĵoj kiel $\epsilon _{0}=\omega ^{\epsilon _{0}}$. Pli kaj pli grandaj ordinaloj povas esti difinitaj kaj ili iĝas pli kaj pli malfacile priskribeblaj.

Ĉiu ordinalo povas esti transformita al topologia spaco per orda topologio. Tiu topologio estu diskreta se kaj nur se la ordinalo estas identa kun nombrebla kardinalo, t.e. ne pli granda ol ω. Subaro ω + 1 estas malfermita en la orda topologio se kaj nur se ĝi estas kunfinia aŭ ne enhavas na ω.

Vastigo de naturaloj

Oni povas rigardi naturalon (inkluzive nulon) laŭ du manieroj: kiel grando de aro aŭ kiel pozicio de aparta elemento en la aro. Por finiaj aroj tiuj du konceptoj kongruas, ĉar ekzistas nur unu maniero transformi aron al linia vico (krom izmorfismoj). Sed prizorgante nefiniajn arojn oni devas distingi inter ncio de grando (per kiu difiniĝas kardinalaj nombroj kaj nocio de pozicio, kiun ĝeneraligas ĉi-priskribata aro de ordinaloj. Tio okazas pro ke iu nefinia aro, havante nur unu "grandon" (povon), havas nefinie multe da neizomorfaj ordoj de si.

Kiam nocio de kardinala nombro asociiĝas kun senstruktura aro, la nocio de ordinalo estas ligita kun aparte plene ordigitaj aroj - tiel proksime ligita, ke tiuj du nocioj ofte estas uzataj interŝanĝeble. Plene ordigitaj aroj estas tutece ordigitaj (t.e. por iuj du malsamaj elementoj unu estas pli granda ol alia) en kiu ne eblas nefinia malkreskanta vico (tamen, nefiniaj kreskantaj vicoj darfas ekzisti). Krome, ĉiu ne malplena subaro de la aro havas almenaŭ unu elementon. Ordinaloj uzeblas por marki (numeri) elementojn de ĉiu plene ordigita aro (la plej magranda elemento markiĝas kiel 0, poste 1, poste 2 ktp) kaj "longo" de la aro difiniĝas kiel la plej malgranda ordinalo, kiu ne estas marko de iu elemento de la aro. Tiu "longo" nomiĝas tipo de ordo.

Ĉiu ordinalo difineblas per aro de antaŭaj ordinaloj. Fakte, plimulto de nune uzataj difinoj difinas ordinalon kiel aron de antaŭaj ordinaloj. Ekzemple, ordinala nombro 42 estas difinebla kiel aro de antaŭaj ordinaloj {0,1,2,…,41}. Pli ĝenerale, iu aro (S) de ordinaloj kiu estas masupren-limigita (t.e. por ĉiu ordinalo α el S kaj ĉiu ordinalo β < α, β estas ankaŭ el S kaj estas (aŭ estas identa kun) ordinalo.

Ĝis nun ni nure menciis finiajn ordinalojn, t.e, naturalojn. Sed samkiel transfiniaj kardinaloj, ekzistas transfiniaj ordinaloj. La unua nefinia ordinalo estas ω, kiu estas tipo de ordo de aro de ĉiuj naturaloj (finiaj ordinaloj) kaj identeblas kun la aro.

Grafika reprezentaĵo de la ordinalo ω². Ĉiu linieto respondas al ordinalo de formo ω·m+n kie m kaj n estas naturaloj.

Eble oni povas ekhavi plian intuician komprenon de ordinaloj post pripenso de kelkaj unuaj el ili. Kiel supre-menciite, la aro komencas je naturaloj (inkluzive nulon): 0, 1, 2, 3, … Post ĉiuj naturaloj sekvas la unua transfinia ordinalo ω, kiun sekvas ω+1, ω+2, ω+3, ktp. (Poste ni difinos pli precize kion signifas la adicio kuntekste de ordinaloj; nun kosideru tion simple kiel nomojn). Post ĉiuj tiuj sekvas ω·2 (aŭ ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, ktp, poste, sammaniere, ω·3, ω·4, … Nun konsideru ni la aron de ordinaloj, kiuj formiĝas ĉi-maniere - kiel ω·m+n, kie m kaj n estas naturaloj. Estiel aro, ĝi devas mem enhavi asociitan ordinalon, kaj tiu markiĝas kiel ω². Plue sammaniere ni difinos na ω³, poste na ω⁴, ktp, ĝis ω^ω, poste, post sekva iteracio, na ω^ω², ktp ĝis ε₀ (epsilono nula) Tiuj ĉiuj ankoraŭ estas relative malgrandaj (nombreblaj) ordinaloj. Tiel ni povas daŭrigi nefinie. Ordinaloj estas aparte taŭgaj por nefinie grandaj numeradoj: preskaŭ ĉiam, kiam oni diras "kaj tiel plu" numerante ordinalojn, oni per tio jam difinas pli grandan ordinalon. La plej malgranda nenombrebla ordinalo estas aro de ĉiuj nombreblaj ordinaloj, markita per ω₁.