Mediano (statistiko)

En teorio de probabloj kaj statistiko, mediano estas la nombro apartiganta la pli altan duonon de specimenoj, loĝantaro, aŭ probablodistribuo de la suba duono. La mediano de finia listo de nombroj estas trovata per ordigo de ĉiuj nombroj ekde la plej malgranda al la plej granda kaj preno de la meza nombro. Se estas para kvanto de nombroj, la mediano ne estas unika, tiel oni ofte prenas la meznombron de la du mezaj valoroj.

Ekzemplo: X<Y<Z: mediano (X, Y, Z) = Y

Ekzemplo: W<X<Y<Z: mediano (W, X, Y, Z) = meznombro (X, Y) = (X+Y)/2

Maksimume duono la loĝantaro havi valoroj malpli ol la mediano kaj maksimume duono havi valoroj pli granda ol la mediano. Se ambaŭ grupoj enhavas malpli ol duonon da la loĝantaro, tiam iu ero el la loĝantaro estas akurate egala al la mediano.

Diferenco de meznombro

La diferenco inter la mediano kaj la meznombro estas ilustrita en ĉi tiu simpla ekzemplo:

Estu nombroj 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Tiam la meznombro estas 4 kaj la mediano estas 4.

Estu nombroj 1, 2, 3, 4, 5, 6, 994.

Tiam la meznombro estas 145, la mediano estas 4.

Estu nombroj 1, 994, 3, 4, 5, 6, 7.

Tiam la meznombro estas ≈145,7, la mediano estas 5.

Do apero de la nombro 994, multe pli granda ol ĉiuj la aliaj, ne ŝanĝas la medianon aŭ ŝanĝas ĝin malmulte, dum kiam la meznombro ŝanĝiĝas multe.

Mediano de probablodistribuo

Por ĉiu probablodistribuo sur la reela linio kun distribuo F, sendistinge de tio ĉu ĝi estas ajna kontinua probablodistribuo, en aparta absolute kontinua distribuo (kaj pro tio estas probablodensa funkcio), aŭ diskreta probablodistribuo, mediano m kontentigas la neegalaĵojn

$\operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}\quad \land \quad \operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,\!$

aŭ

$\int _{-\infty }^{m}\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\quad \land \quad \int _{m}^{\infty }\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\,\!$

en kiu integralo de Rimano-Stieltjes estas uzata. Por absolute kontinua probablodistribuo kun probablodensa funkcio f:

$\operatorname {P} (X\leq m)=\operatorname {P} (X\geq m)=\int _{-\infty }^{m}f(x)\,\mathrm {d} x=0.5.\,\!$

Medianoj de certaj specoj de distribuoj povas esti facile taksitaj de iliaj parametroj

Mediano de normala distribuo kun meznombro μ kaj varianco σ² estas μ. Por normala distribuo, meznombro = mediano = reĝimo.

Mediano de uniforma distribuo en la intervalo [a, b] estas (a + b) / 2, kiu estas ankaŭ la meznombro.

Mediano de koŝia distribuo kun situa parametro x₀ kaj skala parametro y estas x₀, la situa parametro.

Mediano de eksponenta funkcia distribuo kun kurza parametro $\lambda$ estas la natura logaritmo de 2 dividita per la kurza parametro: $\ln 2/\lambda$.

Mediano de distribuo de Weibull kun forma parametro k kaj skala parametro $\lambda$ estas $\lambda (\ln 2)^{1/k}$.

Mediano en priskriba statistiko

La mediano estas uzata ĉefe por deklivaj distribuoj, kiujn ĝi prezentas signife malsame ol la aritmetika meznombro. Ekzemple estu multaro { 1, 2, 2, 2, 3, 9 }. La mediano estas 2 en ĉi tiu okazo, kia estas la reĝimo, kaj ĝi povus vidiĝi kiel pli bona pritakso de centra dispozicio ol la aritmetika meznombro, kiu estas 3,166… .

Propraĵoj

Optimumeca propraĵo

La mediano estas ankaŭ la centra punkto kiu minimumigas la averaĝan de la absolutaj dekliniĝoj; en la ekzemplo pli supre ĉi tiu devus esti (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1.5 uzante la medianon, dum ĝi devus esti 1,944 uzante la meznombron. En la lingvo de teorio de probabloj, la valoro de c kiu minimumigas na

$E(\left|X-c\right|)\,$

estas la mediano de la probablodistribuo de la hazarda variablo X. Noto tamen ke c estas ne ĉiam unika, kaj pro tio ne estas bone difinita ĝenerale.

Neegalaĵo pri meznombro kaj mediano

Por kontinua probablodistribuo, la diferenco inter la mediano kaj la meznombro estas malpli granda ol aŭ egala al norma diferenco. Vidu en neegalaĵo pri lokaj kaj skalaj parametroj.

Kalkulado

Kvankam ordiga algoritmo por n aĵoj prenas ĝenerale O(n log n) operaciojn, per uzo de divida kaj rega algoritmo la mediano de n aĵoj povas esti komputita per nur O(n) operacioj. Oni povas trovi la k-an ero de listo de valoroj per ĉi tiu maniero; ĉi tio estas la elektada algoritmo.

Vidu ankaŭ

• Mediana filtrilo
• Elektada algoritmo
• Neegalaĵo pri lokaj kaj skalaj parametroj
• Aritmetika meznombro
• Geometria meznombro
• Harmona meznombro
• Kvadrata averaĝo
• Reĝimo (statistiko)
• Mediano (geometrio)

Eksteraj ligiloj

greke Statistika mediano je MathWorld greke Mediano de distribuo en PlanetMath. greke Mediano greke Mediano kiel pezita aritmetika meznombro de ĉiuj observoj greke Surlinia kalkulilo greke Kalkulado de la mediano greke A Problemo engaĝanta meznombron, medianon kaj reĝimon.