Ekvacio

Matematiko > Ekvacio

---

Ekvacio estas egalaĵo, enhavanta almenaŭ unu nekonatan grandon. Depende de la variabloj ĝi povas esti unuvariabla, duvariabla ktp. La radiko de unuvariabla ekvacio estas tiu valoro de la variablo, kiu transformas ekvacion al vera egalaĵo. Ekz. la radiko de la ekvacio 3x - 1 = 2x + 5 estas la nombro 6, ĉar 3 · 6 + 1 = 2 · 6 + 5.

La aro de la radikoj de iu ekvacio povas esti finia, malplena aŭ nefinia. Ekz. la aro de la radikoj de la ekvacio 5x + 3 = 5x estas malplena (t.e. ĝi ne havas radikon); por la ekvacio (x+2)(x-3)=0, ĝi estas {-2; 3}, kaj por la ekvacio |x| = x, ĝi estas [0; +∞).

Rimarko: funkcio |x| nomiĝas modulo de x kaj difineblas jene: |a|=a, se a=>0 kaj |a|=-a, se a<0.

Solvi ekvacion signifas trovi la aron de ĝiaj radikoj (solvoj). Ekvacioj estas ekvivalentaj, se ili havas la samajn solvojn. Ĝenerale, ĉiu unuvariabla ekvacio povas esti prezentita kiel f(x)=0 kaj la aro de ĝiaj solvoj estas aro de abscisoj de la punktoj, rezultitaj pro la intersekco de la grafiko y=f(x) kun OX akso.

Oni konas sekvajn ekvaciojn en matematiko:

• Algebra ekvacio - ekvacio egaliganta polinomon al nulo.
  • Lineara unuvariabla ekvacio - $ax+b=0$
  • Kvadrata ekvacio - entenanta la kvadraton (duagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto - $ax^{2}+bx+c=0$.
  • Kuba ekvacio - entenanta la kubon (triagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto.
  • Bikvadrata ekvacio: $ax^{4}+bx^{2}+c=0$
• Diferenciala ekvacio - ekvacio enhavanta derivaĵojn.

La finia aro de ekvacioj, kiuj enhavas la samajn variablojn, estas nomata ekvaciaro aŭ sistemo de ekvacioj. La solvo de la ekvaciaro estas la komuna solvo de ĉiu ekvacioj de la sistemo. Depende de la kvanto de solvoj, sistemo povas esti solvohava (unusolva aŭ plursolva) kaj sensolva.

Kvadrata ekvacio

Por trovi radikojn de kvadrata ekvacio $ax^{2}+bx+c=0$ oni kalkulas $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac}}$.

• Se $\Delta >0$, la ekvacio havas 2 radikojn: ${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ kaj ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$.
• Se $\Delta =0$, la ekvacio havas 1 radikon: ${\frac {-b}{2a}}$.
• Se $\Delta <0$, la ekvacio havas neniujn reelajn radikojn. Sed tiam estas du kompleksaj radikojn.