Reelo: Malsamoj inter versioj

El Vikipedio, la libera enciklopedio
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
Enhavo forigita Enhavo aldonita
EmausBot (diskuto | kontribuoj)
e r2.6.4) (robota aldono de: ur:حقیقی عدد
Luckas-bot (diskuto | kontribuoj)
e r2.7.1) (robota aldono de: hy:Իրական թվեր
Linio 89: Linio 89:
[[hr:Realni broj]]
[[hr:Realni broj]]
[[hu:Valós számok]]
[[hu:Valós számok]]
[[hy:Իրական թվեր]]
[[id:Bilangan riil]]
[[id:Bilangan riil]]
[[is:Rauntala]]
[[is:Rauntala]]

Kiel registrite je 11:08, 22 jan. 2012

Reelaj nombroj (aŭ reelojrealaj nombroj) estas intuicie definitaj kiel nombroj, kiuj estas bijekciaj al la punktoj sur malfinia linio, la nombra linio. La vorto reela nombro estis konstruita responde kaj kontraste al imaginara nombro.

Reelaj nombroj povas estis racionalajneracionalaj; algebrajtranscendaj; kaj pozitivaj, negativajnulo.

Teorie la reelaj nombroj povas esti esprimitaj per decimalaj frakcioj, kiuj havas infinite multajn ciferojn dekstre de la decimala komo. Tamen oni praktike neniam povus skribi la decimalan frakcion de neracionala nombro, ĉar oni bezonus infinite multan tempon kaj spacon.

La aro de reelaj nombroj estas signata per R aŭ ℝ.

Historio

Frakcioj estis uzataj de la egiptoj jam ĉirkaŭ 1000 a.K.. Ĉirkaŭ 500 a.K. grekaj matematikistoj gvidataj de Pitagoro notis la neceson de neracionalaj nombroj.

La strikta teorio de reelaj nombroj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de K. Weierstrass, R. Dedekind kaj G. Cantor.

Difino

Konstruo de la reeloj el la racionaloj

Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelajn nombrojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelan nombron kiel dedekinda tranĉo de la racionalaj nombroj.

Aksiomoj de la reelaj nombroj

Oni povas karakterizi la kampon de reelaj nombroj per tiuj aksiomoj (ĝis izomorfio):

  • La kampo-aksiomoj de adicio, multipliko kaj distribueco
  • Aksiomo de ordo, unu el la du ekvivalentaj aksiomoj
    • ekzistas harmonia tuteca ordo (K, <) (do el 0 < a kaj 0 < b sekvas 0 < a + b kaj 0 < a·b)
    • ekzistas subaro K₊ tiel, ke
      • K = K₊ U {0} U −K₊
      • Se a,b ∈ K₊, tiam a + b ∈ K₊ kaj a·b ∈ K₊
  • Unu el la (ekvivalentaj) aksiomoj de kompleteco :
    • Aksiomo de Weierstrass :
      • Ĉiu nemalplena limigita desupre nombra aro havas solan supran limon.
    • Aksiomo de Dedekind
      • Ĉiu sekco en la aro de reelaj nombroj havas limon.
    • Aksiomo de Cantor
      • Ĉiu kolektiĝanta sistemo de detranĉoj {[An, Bn]} de nombra linio, havas solan nombron, kiu apartenas al ĉiuj detranĉoj.

Ankaŭ estas la aksiomo de Cantor-Dedekind kiu priskribas rilaton de reelaj nombroj al geometrio.

Demonstrado de Cantor pli la "pligrandeco" de la infinito de reelaj

Post montrinte la paradoksoj de malfinio, kiu montras, ke la racionalaj nombroj, kvankam malfinie pli nombraj ol la entjeraj nombroj estas tamen "egale" nombraj, ĉar eblas konstrui parigadosistemon, per kiu ĉiu ero de la unua aro estas parigita laŭ ensurĵeto kun ĉiu ero de la dua. Sed kun la sama rezono, eblas pruvi, ke la malfinio de la aro de reelaj nombroj (kardinalo de kontinuaĵo) estas pli granda!

Ni supozu, ke tia parigado estus efektivigita. Do ni ricevas tabelon, en kies unua kolumno troviĝas la tuta vico de la malfininombraj entjeroj ("potenco de la malkontinua"), en la sekvaj estos, linio post linio la laŭvicaj decimaloj de la ĉiu reela nombro parigita kun ĉiu entjera.
Jen nun ni konstruu reelan nombron kies unua decimalo estu io ajn krom la unua decimalo de la unua reelo de la tabelo. Ties dua decimalo ni faru io ajn krom la dua decimalo de la dua reelo de la tabelo. Kaj tiel plu (malfinie kompreneble!)
Do nun tiu konstruita nombro ne povos esti parigita kun la unua entjero, ĉar ties unua decimalo nepre estos malsama. Ĝi ne povos esti parigita kun la dua, ĉar ĝia dua decimalo estos malsama. Kaj tiel plu. Do tiu nombro NE troviĝas en la supozita tuta parigado. CQFD (latine: Quod erat demonstrandum, tio estis demonstrenda).

Vidu ankaŭ

Ŝablono:LigoElstara