Fibonacci

Fibonacci

19a-jarcenta statuo de Fibonacci en Camposanto, Pisa.

Leonardo Pisano [Leonardo Pizano] aŭ Leonardo da Pisa [Leonardo da Piza] (naskiĝis 1175, mortis ĉ. 1250), ankaŭ konata kiel Fibonacci [Fibonaĉ:i], estis itala matematikisto - la unua granda eŭropa matematikisto post la malprospero de la helena scienco. Li estis konata pro la invento de Fibonaĉi-nombroj kaj pro sia rolo en enkonduko de eŭropaj ciferoj en Eŭropo.

Kromnomo de lia patro estis Bonacci (bonnatura homo) kaj li mem Fibonacci (devenas de filius Bonacci , t.e. filo de bonnatura homo). La patro gvidis komercan oficejon en Nord-Afriko kaj Leonardo juna multe vojaĝis kun li. Ĉi tie, de araboj li ekkonis hindan cifersistemon.

Fibonacci mem konvinkiĝis pri la supereco de t.n. arabaj ciferoj kaj vojaĝis tra la mediteraneaj landoj por studi ĉe konataj arabaj matematikistoj de sia tempo. En 1202, estante 27-jara li publikis Liber Abaci, t.e. libro de abako. Li klarigis araban pozician sistemon de la nombroj, kiu inkluzivis ankaŭ la nombron nul. Ĉi tiu libro montris praktikan oportunon de nova nombrosistemo aplikante ĝin en komerca librotenado, por konversio de pezoj kaj mezuroj, kalkulado de procentoj, monŝanĝo k.a.. La libro estis entuziasme akceptita de edukita Eŭropo kaj havis profundan efikon al eŭropa penso. Ĉi tiu eleganta sistemo de nombrosignado baldaŭ anstataŭis la ne tre oportunan romian sistemon de ciferoj.

Vivo

Fibonacci naskiĝis ĉirkaŭ 1170 al Guglielmo Bonacci, riĉa itala komercisto kaj, laŭ kelkaj rakontoj, ankaŭ la konsulo por Pisa. Guglielmo estris komercan postenon en Beĵaja, nome havenurbo de la sultanlando de la Almohada dinastio en Nordafriko. Fibonacci veturis kun li jam kiel juna knabo, kaj estis en Bugia (nuntempa Beĵaja, Alĝerio) kie li lernis pri la Hind–araba nombrosistemo.

Fibonacci veturis etende ĉirkaŭ la marbordo de la Mediteraneo, laŭ kiu li lernis kun multaj komercantoj kaj lernis pri ties sistemoj fari aritmetikon. Li tuj konstatis la multajn avantaĝojn de la hind-araba sistemo. En 1202 li kompletigis la Liber Abaci (Libro de Abako aŭ Libro de Kalkulado) kiu popularigis hind-arabajn numeralojn en Eŭropo.

Fibonacci gastiĝis ĉe imperiestro Frederiko la 2-a, kiu ĝuis el matematiko kaj scienco. En 1240 la Respubliko Pisa honorigis Fibonacci (referencita kiel Leonardo Bigollo) haviganta al li salajron.

La dato de la morto de Fibonacci ne estas konata, sed oni ĉirkaŭkalkulis inter 1240 kaj 1250, plej verŝajne en Pisa.

Liber Abaci (1202)

Paĝo de la verko de Fibonacci nome Liber Abaci el la Nacia Centra Biblioteko de Florenco montranta (en la dekstra skatolo) la Fibonacci-sekvencon kun la loko en la sekvenco etikedita per romiaj nombroj kaj la valoro per hind-arabaj nombroj.

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Liber Abaci.

En la Liber Abaci (1202), Fibonacci enkondukis la tiel nomata modus Indorum (metodo de Hindianoj), nuntempe konata kiel hind-arabaj nombroj. La libro postulis numeradon per la ciferoj 0–9 kaj pozician nombrosistemon. La libro montris la praktikan uzado kaj valoron de la nova araba nombrosistemon per aplikado de nombroj al komerca librotenado, ŝanĝante pezojn kaj mezurojn, kalkuladon de interezo, mon-ŝanĝadon, kaj aliajn aplikaĵojn. La libro estis bone ricevita en la tuta edukita Eŭropo kaj faris profundan afikon super eŭropa pensaro. Oni ne konas ekzistantajn kopiojn de la eldono de 1202 de tiu libro.

La eldono de 1228, unua sekcio, enkondukas la araban nombrosistemon kaj komparas tiun sistemon kun aliaj, kiaj tiu de la romiaj nombroj, kaj la metodojn por konverti la aliajn nombrosistemojn en arabaj nombroj. Anstataŭante la romian nombrosistemon, ties metodon antikvegiptan multobligmetodon, kaj uzante abakon por kalkulado, per la araba nombrosistemo, progresige igis la negockalkuladon plifacile kaj plirapide, kio kondukis al kresko de bankado kaj kalkulado en Eŭropo.

La dua sekcio klarigas the uses of Arabic numerals in business, for example converting different currencies, and calculating profit and interest, which were important to the growing banking industry. The book also discusses irrational numbers and prime numbers.

Fibonacci-sekvenco

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Fibonaĉi-nombro.

Tiel la unuaj fibonaĉi-nombroj estas:

n F(n) 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 8 21 9 34 10 55 11 89 12 144 13 233 14 377 15 610 16 987 17 1597 18 2584 19 4181 20 6765 21 10946 22 17711 23 28657 24 46368 25 75025 26 121393 27 196418 28 317811 29 514229 30 832040 31 1346269 32 2178309 33 3524578 34 5702887 35 9227465 36 14930352 37 24157817 38 39088169 39 63245986 40 102334155 41 165580141 42 267914296 43 433494437 44 701408733 45 1134903170 46 1836311903 47 2971215073 48 4807526976 49 7778742049 50 12586269025 51 20365011074 52 32951280099 53 53316291173 54 86267571272 55 139583862445 56 225851433717 57 365435296162 58 591286729879 59 956722026041 60 1548008755920 61 2504730781961 62 4052739537881 63 6557470319842 64 10610209857723 65 17167680177565 66 27777890035288 67 44945570212853 68 72723460248141 69 117669030460994 70 190392490709135 71 308061521170129 72 498454011879264 73 806515533049393 74 1304969544928657 75 2111485077978050 76 3416454622906707 77 5527939700884757 78 8944394323791464 79 14472334024676221 80 23416728348467685 81 37889062373143906 82 61305790721611591 83 99194853094755497 84 160500643816367088 85 259695496911122585 86 420196140727489673 87 679891637638612258 88 1100087778366101931 89 1779979416004714189 90 2880067194370816120

La fibonaĉi-nombroj, tiel nomataj pro la itala matematikisto Fibonacci, konsistigas progresion kies termoj difinitas per:

$F(n+2)=F(n)+F(n+1)$,

kaj la ekkondiĉoj:

F(0) = 0

F(1) = 1

alinome:

$F_{n}:=F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}n=0;\\1&{\mbox{dla }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{dla }}n>1.\\\end{cases}}$

Propraĵoj

$F_{n}=\sum _{k=1}^{n}{n-k \choose k-1}$

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1$

$\sum _{i=0}^{n}iF_{i}=nF_{n+2}-F_{n+3}+2$

Kaheligo de ortangulo per kvadratoj kies longoj de lateroj estas fibonaĉi-nombroj

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}^{2}=F_{n+1}F_{n}$ (kaheligo de ortangulo montrita sur bildo)

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}^{3}=(F_{3n+2}+(-1)^{n+1}6F_{n-1}+5)/10$

$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}$

$F_{2n-1}={F_{n}}^{2}+{F_{n-1}}^{2}$

$F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

$F_{n+1}F_{m}+F_{n}F_{m-1}=F_{m+n}\,$

• Teoremo de Carmichael pri primaj faktoroj.

Verkoj

• Liber Abaci (1202), libro pri kalkulado (anglalingva traduko fare de Laurence Sigler, 2002)
• Practica Geometriae (1220), kompendio de teknikoj pri termezurado, nome mezuro kaj partigado de areoj kaj volumenoj, kaj aliaj temoj en praktika geometrio (anglalingva traduko fare de Barnabas Hughes, Springer, 2008).
• Flos (1225), solvoj al problemoj planitaj de Johano de Palermo
• Liber quadratorum ("La libro de kvadratoj") pri diofantaj ekvacioj, dediĉita al la imperiestro Frederiko la 2-a. Vidu partikulare la kongruon de kvadrataj nombroj kaj la identecon Brahmagupta–Fibonacci.
• Di minor guisa (pri komerca aritmetiko; perdita)
• Komentario pri la Libro 10a de la Elementoj de Eŭklido (perdita)

Vidu ankaŭ

• Romiaj ciferoj