Kvocienta grupo

En matematiko, aparte teorio de grupoj, kvocienta grupo estas grupo ricevata per identigo kune de eroj de pli granda grupo per ekvivalentrilato.

Ekzemple, la cikla grupo de adicio module n povas esti ricevita de la entjeroj per identigo de eroj kiu diferenciĝas per obloj de n kaj difino de grupa strukturo, kiu operacias sur ĉiu tia klaso (sciata kiel kongrueca klaso) kiel sola ento.

En kvociento de grupo, la ekvivalentklaso de la neŭtra elemento estas ĉiam normala subgrupo de la originala grupo, kaj la aliaj ekvivalentklasoj estas la flankaj klasoj de ĉi tiu normala subgrupo. La rezultanta kvociento estas skribata kiel G/N, kie G estas la originala grupo kaj N estas la normala subgrupo.

Multo de la graveco de kvocientaj grupoj estas derivita de ilia rilato al homomorfioj. La unua izomorfia teoremo asertas, ke la bildo de ĉiu grupo G sub homomorfio estas ĉiam izomorfa al kvociento de G. Aparte, la bildo de G sub homomorfio φ: G → H estas izomorfa al G / ker(φ), kie ker(φ) estas la kerno de φ.

Teorie, la komprenaĵo de kvocienta grupo estas duala al la komprenaĵo de subgrupo, ĉi tiuj estas la du manieroj de formado de pli malgranda grupo el pli granda. En teorio de kategorioj, kvocientaj grupoj estas ekzemploj de kvocientaj objektoj, kiuj estas dualaj al subobjektoj. La aliaj ekzemploj de kvocientaj objektoj estas kvocienta ringo, kvocienta spaco (lineara algebro), kvocienta spaco (topologio), kvocienta aro.

La produto de subaroj de grupo

En jena diskuto estas uzataj dulokaj operacioj sur la subaroj de G. Por du donitaj subaroj S kaj T de G, oni difinu ilian produton kiel ST = {st : s∈S, t∈T}. Ĉi tiu operacio estas asocieca kaj havas kiel neŭtra elemento la unueran aron {e}, kie e estas la neŭtra elemento de G. Tial, la aro de ĉiuj subaroj de G formas monoidon sub ĉi tiu operacio.

Simile estas difinataj la dulokaj operacioj sur ero kaj subaro de G. Por donita ero s de G kaj donita subaro T de G, oni difinu iliajn produtojn kiel sT = {st : t∈T} kaj Ts = {ts : t∈T}.

En terminoj de ĉi tiu operacio oni povas unue ekspliki kia kvocienta grupo estas, kaj tiam ekspliki kia normala subgrupo estas. Kvocienta grupo de grupo G estas parto de G kiu estas mem grupo sub ĉi tiu operacio. Ĝi estas plene difinita per la subaro enhavanta e. Normala subgrupo de G estas la aro enhavanta e en ĉiu tia disdivido. La subaroj en la disdivido estas la flankaj klasoj de ĉi tiu normala subgrupo.

Subgrupo N de grupo G estas normala se kaj nur se la egaleco de flankaj klasoj aN = Na veras por ĉiuj a en G. En terminoj de la operacio sur subaroj difinita pli supre, normala subgrupo de G estas subgrupo kiu komutiĝas kun ĉiu subaro de G kaj estas signifata kiel N ◁ G. Subgrupo kiu permutas kun ĉiu subgrupo de G estas nomata kiel permutebla subgrupo.

Difino

Estu N esti normala subgrupo de grupo G. Oni difinu la aron G/N al esti la aro de ĉiuj maldekstraj klasoj de N en G, kio estas, G/N = { aN : a∈G }. La grupa operacio sur G/N estas la produto de subaroj difinita pli supre. En aliaj vortoj, por ĉiu aN kaj bN en G/N, la produto de aN kaj bN estas (aN)(bN). Ĉi tiu operacio estas fermita, ĉar (aN)(bN) reale estas maldekstra klaso:

(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = (ab)N

La normaleco de N estas uzata en ĉi tiu ekvacio. Pro la normaleco de N, la maldekstraj klasoj kaj dekstraj klasoj de N en G estas egalaj, kaj do G/N povis esti difinita kiel la aro de dekstraj klasoj de N en G. Ĉar la operacio estas derivita de la produto de subaroj de G, la operacio estas bone-difinita (ne dependas sur la aparta elekto de prezentantoj), asocieca, kaj havas neŭtran elementon N. La inverso de ero aN de G/N estas a⁻¹N.

Ekzemple, estu cikla grupo de adicio module 6:

G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Estu

N = {0, 3}

Tiam la kvocienta grupo estas:

G/N = { aN : a∈G } = { a{0, 3} : a∈{0, 1, 2, 3, 4, 5} } =

{ 0{0, 3}, 1{0, 3}, 2{0, 3}, 3{0, 3}, 4{0, 3}, 5{0, 3} } =

{ {(0+0) mod 6, (0+3) mod 6}, {(1+0) mod 6, (1+3) mod 6},

{(2+0) mod 6, (2+3) mod 6}, {(3+0) mod 6, (3+3) mod 6},

{(4+0) mod 6, (4+3) mod 6}, {(5+0) mod 6, (5+3) mod 6} } =

{ {0, 3}, {1, 4}, {2, 5}, {3, 0}, {4, 1}, {5, 2} } =

{ {0, 3}, {1, 4}, {2, 5}, {0, 3}, {1, 4}, {2, 5} } =

{ {0, 3}, {1, 4}, {2, 5} }

La antaŭlasta plisimpligo estas ĉar ordo de eroj en aro ne gravas.

La lasta plisimpligo estas ĉar aro enhavas ĉiun eron ne pli ol unufoje, kaj ekzemple apero de {0, 3} dufoje signifas ne pli multon ol apero de ĝi unufoje; tiel estas por ĉiu el la 3 eroj de G/N.

Motivado por difino

La kaŭzo de tio ke G/N estas nomata kiel kvocienta grupo venas de divido de entjeroj. Kiam dividante 12 per 3 oni ricevas la respondon 4 ĉar unu povas regrupigi 12 objektoj en 4 subkolektojn de 3 objektoj. La kvocienta grupo estas la sama ideo, tamen oni finiĝi kun grupo por fina respondo anstataŭ nombro ĉar grupoj havas plian strukturo ol hazarda kolekto de objektoj.

Al ellabori, kiam rigardante je G/N kun N normala subgrupo de G, la grupa strukturo estas uzata por formi naturan regrupigon. Ĉi tiuj estas la flankaj klasoj de N en G. Ĉar oni startis kun grupo kaj normala subgrupo la fina kvociento enhavas plian informon ol ĝuste la kvanto de flankaj klasoj (kiu estas tio kion regula divido liveras), sed anstataŭe mem havas grupan strukturan.

Ekzemploj

• Konsideru la grupo de entjeroj Z sub adicio kaj la subgrupon 2Z konsistantan el ĉiuj paraj entjeroj. Ĉi tiu estas normala subgrupo, ĉar Z estas abela. Estas nur du flankaj klasoj: la aro de paraj entjeroj kaj la aro de neparaj entjeroj; pro tio, la kvocienta grupo Z/2Z estas la cikla grupo kun du eroj. Ĉi tiu kvocienta grupo estas izomorfa kun la aro {0, 1} kun adicio module 2.

• Ĝeneraligo de la lasta ekzemplo. Denove konsideru la grupo de entjeroj Z sub adicio. Estu n iu pozitiva entjero. Konsideru la subgrupon nZ de Z konsistantan el ĉiuj obloj de n. Denove nZ estas normala en Z ĉar Z estas abela. La flankaj klasoj estas la kolekto {nZ,1+nZ, ..., (n-2)+nZ, (n-1)+nZ}. Ekzemple por n=3:

3Z = {3x : x ∈ Z} = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}

1+3Z = {1+x : x ∈ 3Z} = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}

2+3Z = {2+x : x ∈ 3Z} = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}

Entjero k apartenas al la flanka klaso r+nZ , kie r estas la resto de divido de k per n. La kvociento Z/nZ povas esti konsiderata kiel la grupo de "restoj" module n. Ĉi tiu estas cikla grupo de ordo n.

La flankaj klasoj de N en G

• Konsideru la multiplikan komutan grupon G de kompleksaj radikoj de unu de ordo 12, kiuj estas punktoj sur la trigonometria cirklo, montritaj sur la bildo dekstre kiel kolorigitaj pilkoj kun la nombro je ĉiu punkto donanta ĝian kompleksan argumenton. Konsideru ĝian subgrupon N el la kvaraj radikoj de unu, montritan kiel ruĝaj pilkoj. Ĉi tiu normala subgrupo fendas la grupon en tri flankajn klasojn, montritajn en ruĝa, verda kaj blua. La flankaj klasoj formas grupon kun tri eroj (la produto de ruĝa ero kun blua ero estas blua, la inverso de blua ero estas verda, kaj tiel plu). Tial, la kvocienta grupo G/N estas la grupo de tri koloroj, kiu estas la cikla grupo kun tri eroj.

• Konsideru la grupo de reelaj nombroj R sub adicio, kaj la subgrupon Z de entjeroj. La flankaj klasoj de Z en R estas ĉiuj aroj de formo a+Z , kun 0 ≤ a < 1 reela nombro. Adiciado de ĉi tiaj flankaj klasoj estas farata per adiciado de la respektivaj reelaj nombroj a, kun subtrahado de 1 se la rezulto estas pli granda ol aŭ egala al 1. La kvocienta grupo R/Z estas izomorfa al la cirkla grupo S¹, la grupo de kompleksaj nombroj de absoluta valoro 1 sub multipliko, aŭ respektive, la grupo de turnadoj en 2D ĉirkaŭ la fonto, kio estas, la speciala perpendikulara grupa SO(2). Izomorfio estas donita per f(a+Z) = exp(2πia) (vidu en eŭlera idento).

• Se G estas la grupo de inversigeblaj 3×3 reelaj matricoj, kaj N estas la subgrupo de 3×3 reelaj matricoj kun determinanto 1. Tiam N estas normala en G ĉar por ĉiu matrico a, aN = {an : n∈N} kaj Na = {na : n∈N} = {(aa⁻¹)na : n∈N} = {a(a⁻¹na) : n∈N}. La matrico b=a⁻¹na havas determinanton 1 kaj do estas en N, do Na = {ab : b∈N} kaj do Na = aN. Alivorte, N estas normala en G ĉar ĝi estas la kerno de la determinanta homomorfio. La flankaj klasoj de N estas la aroj de matricoj kun donita determinanto, kaj de ĉi tie G/N estas izomorfa al la multiplika grupo de ne-nulaj reelaj nombroj.

• Konsideru la komutan grupon {0, 1, 2, 3} kun adicio module 4 (kiu estas izomorfa al la Z₄ = Z/4Z ), kaj ĝian subgrupon {0, 2}. La kvocienta grupo {0, 1, 2, 3} / {0, 2} estas { {0, 2}, {1, 3} }. Ĉi tiu estas grupo kun neŭtra elemento {0, 2}, kaj grupaj operacioj kiel {0, 2} + {1, 3} = {1, 3}. Ambaŭ la subgrupo {0, 2} kaj la kvocienta grupo { {0, 2}, {1, 3} } estas izomorfaj kun Z₂.

• Konsideru la multiplikan grupon $G=\mathbf {Z} _{n^{2}}^{*}$. La aro N de n-aj restaĵoj estas multiplika subgrupo de ordo φ(n) de $\mathbf {Z} _{n}^{*}$. Tiam N estas normala en G kaj la kvocienta grupo G/N havas la flankajn klasojn N, (1+n)N, (1+n)²N, ..., (1+n)^n-1N. La ĉifrosistemo de Pallier estas bazita sur la konjekto ke estas malfacile difini la flankan klason de hazarda ero de G sen scio de la faktorigo de n.

Propraĵoj

La kvocienta grupo G/G estas izomorfa al la bagatela grupo (la grupo kun unu ero), kaj G/{e} estas izomorfa al G.

La ordo de G/N, per difino de la kvanto de eroj, estas egala al |G : N |, la indekso de N en G. Se G estas finia, la indekso estas ankaŭ egala al la ordo de G dividita per la ordo de N. G/N povas esti finia se ambaŭ G kaj N estas malfiniaj (ekzemple Z/2Z ).

Estas "natura" surĵeta grupa homomorfio π : G → G/N, sendanta ĉiun ero g de G al la flanka klaso de N al kiu g apartenas, tio estas: π(g) = gN. La surĵeto π estas iam nomata kiel la kanona projekcio de G sur G/N. Ĝia kerno estas N.

Estas dissurĵeta rilato inter la subgrupoj de G kiu enhavas N kaj la subgrupoj de G/N; se H estas subgrupo de G enhavanta N, tiam la respektiva subgrupo de G/N estas π(H). Ĉi tiu rilato veras por normalaj subgrupoj de G kaj G/N same bone, kaj estas formaligite en la krada teoremo.

Kelkaj gravaj propraĵoj de kvocientaj grupoj estas statitaj en la fundamenta teoremo sur homomorfioj kaj la izomorfiaj teoremoj.

Se G estas komuta (abela), nulpotenca aŭ solvebla, do ĉi tia estas ankaŭ G/N.

Se G estas cikla aŭ finie generita, do ĉi tia estas ankaŭ G/N.

Se N estas enhavata en la centro de G, do G estas nomata kiel la centra vastigaĵo de la kvocienta grupo.

Se H estas subgrupo en finia grupo G, kaj la ordo de H estas duono de la ordo de G, tiam H estas garantiita al esti normala subgrupo, do G/H ekzistas kaj estas izomorfa al C₂. Ĉi tiu rezulto povas ankaŭ esti prezentita kiel tio ke ĉiu subgrupo de indekso 2 estas normala, kaj en ĉi tiu formo ĝi aplikas ankaŭ al malfiniaj grupoj.

Ĉiu finie generita grupo estas izomorfa al kvociento de libera grupo.

Iam, sed ne bezone, grupo G povas esti rekonstruita de G/N kaj N, kiel direkta produto aŭ duonrekta produto. La problemo de difinado kiam ĉi tiu estas la okazo estas sciata kiel la vastigaĵa problemo. Ekzemplo kie ĝi estas ne ebla estas sekva. Z₄ / {0, 2} estas izomorfa al Z₂, kaj {0, 2} ankaŭ, sed la nura duonrekta produto estas la direkta produto, ĉar Z₂ havas nur la bagatelan aŭtomorfion. Pro tio Z₄, kiu estas malsama de Z₂ × Z₂, ne povas esti rekonstruita.

Kvocientoj de grupoj de Lie

Se G estas grupo de Lie kaj N estas normala subgrupo de Lie de G, do la kvociento G/N estas ankaŭ grupo de Lie. En ĉi tiu okazo, la originala grupo G havas la strukturo de fibra pakaĵo (aparte, ĉefa N-pakaĵo), kun baza spaco G/N kaj fibro N.

Por ne-normala subgrupo de Lie N, la spaco G/N de maldekstraj klasoj estas ne grupo, sed simple diferencialebla dukto sur kiu G agas. La rezulto estas homogena spaco.

Vidu ankaŭ

• Kvocienta ringo, ankaŭ nomata kiel faktora ringo
• Centra vastigaĵo
• Vastigaĵa problemo
• Krada teoremo
• Kvocienta kategorio
• Mallonga akurata vico
• Teoremo de izomorfio
• Kvocienta aro
• Ekvivalentrilato
• Modula aritmetiko

Eksteraj ligiloj

• Kongrueco module subgrupo