Stabileco de dinamika sistemo

En matematiko kaj rega teorio, la stabileco estas propreco, kiun povas havi dinamika sistemo.

Se ĉiuj solvoj de la dinamika sistemo kiuj komenciĝas proksime al ekvilibra punkto x_e restas proksime de x_e eterne, do x_e estas liapunova stabila. Pli forte, se x_e estas lapunova stabila kaj ĉiuj solvoj, kiuj komenciĝas proksime al x_e konverĝas al x_e, do x_e estas asimptote stabila. La okazo de eksponenta stabileco garantias minimuman kurson de konverĝo, kio estas, pritakso de tio kiel rapide la solvoj konverĝas.

La ideo de liapunova stabileco povas esti etendita al malfinidimensiaj duktoj, kie ĝi estas sciata kiel struktura stabileco, kiu koncernas la konduton de malsamaj sed apudaj solvoj al diferencialaj ekvacioj.

La liapunova stabileco estas nomita laŭ Aleksandr Miĥajloviĉ Liapunov (ru:Александр Михайлович Ляпунов).

Difino por kontinuo-tempaj sistemoj

Estu aŭtonoma dinamika sistemo (ĝenerale nelineara)

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=f(\mathbf {x} )$

kie $\mathbf {x} (t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ estas la sistema stata vektoro;

${\mathcal {D}}$ estas malfermita aro enhavanta la fonton de koordinatoj;

$f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ estas kontinua sur ${\mathcal {D}}$.

Supozu ke f havas ekvilibran pukton x_e. Sen malprofito al universaleco, oni povas alpreni ke ĝi estas je la fonto de koordinatoj. En la alia okazo oni trairu al konsidero de la nova stata vektoro u= x-x_e.

• La ekvilibra punkto de la sistemo estas liapunova stabila, se, por ĉiu ε>0 tie ekzistas δ(ε)>0 tia ke, se ||x(t₀)||<δ, do ||x(t)||<ε, por ĉiu t≥t₀.
• La ekvilibra punkto de la sistemo estas asimptote stabila se ĝi estas lapunova stabila kaj se tie ekzistas δ>0 tia ke se ||x(t₀)||<δ, do $\lim _{t\rightarrow \infty }\mathbf {x} (t)=0$.
• La ekvilibra punkto de la sistemo estas eksponente stabila se ĝi estas asimptote stabila kaj se tie ekzistas valoroj α, β, δ, α>0, β>0, δ>0, tiaj ke se ||x(t₀)||<δ, do ||x(t)|| ≤ α||x(t₀)||e^-β(t-t₀), por t≥t₀. Eksponenta stabileco signifas ke solvaĵoj ne nur konverĝas, sed fakte konverĝas almenaŭ same rapide kiel aparta sciata kurzo de eksponenta funkcio α||x(t₀)||e^-β(t-t₀).
• La ekvilibra punkto de la sistemo estas liapunova malstabila, se, ekzistas ε>0, tia ke por ĉiu δ>0 tia ke, tie ekzistas x₀, ||x₀||<δ, tiaj ke se x(t₀)=x₀, do ||x(t)||≥ε, por iu t≥t₀.

La trajektorio x estas (loke) alloga se

||y(t)-x(t)|| → 0

kun t → ∞ por ĉiuj trajektorioj kiuj startas sufiĉe proksime, kaj malloke alloga se ĉi tiu propreco veras por ĉiuj trajektorioj.

Tio estas, se x apartenas al la eno de ĝia stabila dukto. Ĝi estas asimptote stabila se ĝi estas ambaŭ alloga kaj stabila. Estas kontraŭekzemploj montrantaj ke allogeco ne implicas asimptotan stabilecon. Ĉi tia kontraŭekzemplo povas ekzemple enhavi unuekvilibran orbiton.

Se la dinamika sistemo estas neaŭtonoma (kio estas, ĝia konduto dependas de tempo)

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=f(\mathbf {x} ,t)$

do aparta nocio de uniforma liapunova stabileco povas esti konsiderata. Tiam:

• La ekvilibra punkto de la sistemo estas liapunova stabila, se, por ĉiu ε>0 kaj t₀>0, tie ekzistas δ(ε, t₀)>0 tia ke, se ||x(t₀)||<δ, do ||x(t)||<ε, por ĉiu t≥t₀.
• Por tio ke la ekvilibra punkto de la sistemo estas uniforma liapunova stabila la difino estas la sama kiel la antaŭa por liapunova stabila krom tio ke δ ne dependas de t₀, kaj dependas de nur ε. Tiel, la ekvilibra punkto de la sistemo estas uniforma liapunova stabila, se, por ĉiu ε>0, tie ekzistas δ(ε)>0 tia ke, se ||x(t₀)||<δ, do ||x(t)||<ε, por ĉiu t≥t₀.

Difino por diskreto-tempaj sistemoj

La difino por diskreto-tempaj sistemoj estas preskaŭ identa al tiu por kontinuo-tempaj sistemoj. La difino pli sube provizas ĉi tiu, uzanta alterna lingvo kutime uzita en pli matematikaj tekstoj.

Estu (X, d) metrika spaco kaj f : X → X estu kontinua funkcio. Punkto x en X estas liapunova stabila se, por ĉiu ε>0, estas δ>0 tia ke por ĉiu y en X, se d(x, y) < δ do

d(fⁿ(x), fⁿ(y)) < ε

por ĉiu entjera n≥1, kie fⁿ estas la n-a funkcia potenco (ripetita apliko de la funkcio).

x estas asimptote stabila se ĝi apartenas al la eno de ĝia stabila aro, kio estas ke estas δ>0 tia ke se d(x, y) < δ do

$\lim _{n\to \infty }d(f^{n}(\mathbf {x} ),f^{n}(\mathbf {y} ))=0$

Stabileco de linearaj sistemoj

Lineara sistemo

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=A\mathbf {x}$

estas asimptote stabila (fakte, eksponente stabila) se ĉiuj reelaj partoj de la ejgenoj de A estas negativaj. Ĉi tiu kondiĉo estas ekvivalento al la sekva:

A^TM + MA + N = 0

havas solvaĵon kie N = N^T > 0 kaj M = M^T > 0 (pozitive difinitaj difinitaj matricoj). La taŭga lapunova funkcio (por la liapunova dua teoremo pri stabileco, vidu sube) estas tiam V(x) = x^TMx .

Tio ke reelaj partoj de la ajgenoj λ_i de A estas negativaj signifas, ke konduto de la sistemo estas simila al estingiĝanta eksponenta funkcio

αe^-βt kun β>0, β=-Re(λ_i)

aŭ al eksponente estingiĝanta oscilanta funkcio

αe^-βtsin(ωt+φ) kun β>0, β=-Re(λ_i)

Respektive, en diskreta tempo, lineara sistemo

x_t+1 = Ax_t

estas asimptote stabila (fakte, eksponente stabila) se ĉiu el la ejgenoj de A havas absolutan valoron pli malgrandan ol 1.

Ĉi tiu lasta kondiĉo havas estas ĝeneraligita por reŝaltanta sistemoj: lineara reŝaltanta diskreta tempa sistemo regata per aro de matricoj {A₁, ..., A_m}

${\mathbf {x} _{t+1}}=A_{i_{t}}\mathbf {x} _{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}$

estas asimptote stabila (fakte, eksponente stabila) se la kuna spektra radiuso de la aro {A₁, ..., A_m} estas pli malgranda ol 1.

Konsidero de stabileco per lineara proksimumigo

Estu sistemo kun ekvilibra punkto x_e

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=f(\mathbf {x} )$

Kun uzo de la lineara proksimumigo de f(x) per serio de Taylor ĉirkaŭ x_e, la sistemo estas priskribata kiel

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=f(\mathbf {x} _{e})+{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} _{e}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{e})+O((\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{e}\|)^{2})$

kie O estas la granda O;

la parta derivaĵo ${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} _{e}}$ estas la jakobia matrico.

Estu matrico $A={\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} _{e}}$

Tiam konsideru la proksimumigan linearan sistemon

${\frac {d\mathbf {\xi } }{dt}}=A\mathbf {\xi }$

• Se reelaj partoj de ĉiuj ejgenoj de A estas negativaj do la proksimumiga lineara sistemo estas stabila kaj la ekvilibro ĉe x_e estas stabila.
• Se ekzistas almenaŭ unu ejgeno de A kun pozitiva reela parto do la proksimumiga lineara sistemo estas malstabila kaj la ekvilibro ĉe x_e estas malstabila.
• Se ekzistas almenaŭ unu ejgeno de A kun nula reela parto, kaj reelaj partoj de ĉiuj la aliaj ejgenoj de A estas negativaj, do per ĉi tiu maniero ne eblas konkludi ĉu x_e estas stabila. En ĉi tiu okazo gravas tiu parto de la funkcio f kiu estas priskribita per la granda O en la lineara proksimumigo.

Ĉi tio estas la liapunova unua teoremo pri stabileco.

Liapunova dua teoremo pri stabileco

Estu funkcio V(x) : Rⁿ → R tia ke

• V(x) ≥ 0 kun egaleco se kaj nur se x=0 (pozitive difinita funkcio)
• ${\frac {dV(\mathbf {x} (t))}{dt}}\leq 0$ kun egaleco se kaj nur se x=0 (negative difinita).

Tiam V(x) estas nomata kiel kandidato por la liapunova funkcio kaj la sistemo estas liapunova asimptote stabila.

Noto, ke la kondiĉo V(0)=0 estas postulata; alie V(x) = 1/(1+|x|) devus pruvi ke ĉiu ${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {x}$ estas loke stabila.

Eblas vedebligi ĉi tiun manieron de analizo per konsiderado de fizika sistemo (ekzemple vibranta risorto kaj maso) kaj konsiderado de la energio de la sistemo. Se la sistemo perdas energion dum tempo kaj la energio estas neniam rekreata tiam eble la sistemo devas (grinci, knari, mueli) al halti kaj atingi iun finan kvietan stato. Ĉi tiu fina stato estas nomata kiel la altenaĵo.

Tamen, trovanta de funkcio kiu priskribas la faktan energion de fizika sistemo povas esti malfacile, kaj por abstraktaj matematikaj sistemoj, ekonomiaj sistemoj aŭ biologiaj sistemoj, la koncepto de energio povas ne esti aplikebla. La konsidero estas ke stabileco povas esti pruvita sen postulado de scio de la vera fizika energio, se iu liapunova funkcio povas troviĝi kiu kontentigas la kondiĉojn.

Vidu ankaŭ

• Logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo kun maniero de kontrolado de la stabileco per ĝi

Eksteraj ligiloj

• http://www.mne.ksu.edu/research/laboratories/non-linear-controls-lab
• Asimptote stabila en PlanetMath.
• Stabileco en Scolarpedia