Koŝia konverĝa provo: Malsamoj inter versioj
[nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Addbot (diskuto | kontribuoj) e Roboto: Forigo de 6 interlingvaj ligiloj, kiuj nun disponeblas per Vikidatumoj (d:q1051406) |
Noirie (diskuto | kontribuoj) kun ekzemplo |
||
Linio 1: | Linio 1: | ||
La '''koŝia konverĝa provo''' estas maniero por provi [[konverĝo]]n de malfinia serio. |
La '''koŝia konverĝa provo''' estas maniero por provi [[konverĝo]]n de malfinia serio. Ĝi estas nomita laŭ [[Augustin Louis Cauchy]], kiu publikigis ĝin en sia verko Cours d'Analyse. |
||
==Koŝia konverĝa provo por serioj== |
|||
Serio |
|||
:<math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> |
:<math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> |
||
Linio 9: | Linio 12: | ||
veras por ĉiuj ''n>N'' kaj <math>p\geq1</math>. |
veras por ĉiuj ''n>N'' kaj <math>p\geq1</math>. |
||
==Ekzemplo== |
|||
La serio <math>1 + \tfrac14 + \tfrac19 + \tfrac1{16} + \ldots</math> konverĝas, ĉar |
|||
:<math>\left| \sum_{i=n+1}^m \frac{1}{i^2} \right| < \left| \sum_{i=n+1}^m \frac{1}{i (i-1)} \right| = \left| \sum_{i=n+1}^m \left(\frac{1}{i-1} - \frac{1}{i}\right) \right| = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon</math>, |
|||
==Provo== |
|||
La provo laboras ĉar la serio estas konverĝa se kaj nur se la parta sumo <math>s_n:=\sum_{i=0}^n a_i</math> estas [[koŝia vico]]: por ĉiu <math>\varepsilon>0</math> estas nombro ''N'', tia ke por ĉiuj ''n,m>N'' veras <math>|s_m-s_n|<\varepsilon.</math> |
La provo laboras ĉar la serio estas konverĝa se kaj nur se la parta sumo <math>s_n:=\sum_{i=0}^n a_i</math> estas [[koŝia vico]]: por ĉiu <math>\varepsilon>0</math> estas nombro ''N'', tia ke por ĉiuj ''n,m>N'' veras <math>|s_m-s_n|<\varepsilon.</math> |
||
Oni povas supozi ke ''m>n'' kaj tial aro ''p=m-n''. La serio estas konverĝa se kaj nur se |
Oni povas supozi ke ''m>n'' kaj tial aro ''p=m-n''. La serio estas konverĝa se kaj nur se |
Kiel registrite je 16:24, 25 dec. 2019
La koŝia konverĝa provo estas maniero por provi konverĝon de malfinia serio. Ĝi estas nomita laŭ Augustin Louis Cauchy, kiu publikigis ĝin en sia verko Cours d'Analyse.
Koŝia konverĝa provo por serioj
Serio
estas konverĝa se kaj nur se por ĉiu estas nombro N tia ke
veras por ĉiuj n>N kaj .
Ekzemplo
La serio konverĝas, ĉar
- ,
Provo
La provo laboras ĉar la serio estas konverĝa se kaj nur se la parta sumo estas koŝia vico: por ĉiu estas nombro N, tia ke por ĉiuj n,m>N veras Oni povas supozi ke m>n kaj tial aro p=m-n. La serio estas konverĝa se kaj nur se